Mise en équation du problème

Soit $u$ la tension électrique aux bornes de la bobine et $i$ l'intensité du courant qui la traverse, l'équation électrique s'écrit:

$$u=Ri+Bl.\frac{dx_1}{dt}$$

soit encore

$$i=\frac{u}{R}-\frac{Bl}{R}.\frac{dx_1}{dt}$$

Le principe fondamental de la dynamique appliqué au mouvement de translation de l'équipage mobile est:

$$M_1\frac{d^2x_1}{dt^2}=-k_1x_1-h_1\frac{dx_1}{dt}+Bli+ forces de pression$$

Les forces de pression résultent des déplacements des membranes:

Dans le volume $V_1$ $\frac{\Delta P_1}{P_0}+\gamma\frac{\Delta V_1}{V_1}=0$ avec $\Delta V_1=\Sigma _1x_1$; d'où on tire $\Delta P_1=-\gamma P_0\frac{\Sigma _1x_1}{V_1}$ et la force $f_{11}=-\gamma P_0\frac{\Sigma _1^2}{V_1}x_1$.

Dans le volume $V_2$ $\frac{\Delta P_2}{P_2}+\gamma\frac{\Delta V_2}{V_2}=0$ avec $\Delta V_2=\Sigma _2x_2-\Sigma _1x_1$ ce qui donne

$$\Delta P_2=-\gamma P_0\frac{\Sigma _2}{V_2}x_2+\gamma P_0\frac{\Sigma _1}{V_2}x_1$$

On en déduit la force exercée par la variation du volume $V_2$ sur le haut-parleur actif:

$$f_{12}=\gamma P_0\frac{\Sigma _1\Sigma _2}{V_2}x_2-\gamma P_0\frac{\Sigma _1^2}{V_2}x_1$$

et la force exercée sur la membrane du passif par la variation de volume de $V_2$:

$$f_{22}=-\gamma P_0\frac{\Sigma _2^2}{V_2}x_2+\gamma P_0\frac{\Sigma _1\Sigma _2}{V_2}x_1$$

On pose, comme d'habitude,:

$$k'_{11}=\gamma P_0\frac{\Sigma _1^2}{V_1} ; k'_{12}=\gamma ... ...\Sigma _1^2}{V_2} ; k'_{22}=\gamma P_0\frac{\Sigma _2^2}{V_2}$$

Puis on définit les volumes équivalents aux raideurs des suspensions:

$$V_{1AS}=\gamma P_0\frac{\Sigma _1^2}{k_1} ; V_{2AS}=\gamma P_0\frac{\Sigma _2^2}{V_2}$$

On en déduit les raideurs normalisées des différents volumes $A_{11}$,$A_{12}$ et $A_{22}$

$$k'_{11}=A_{11}k_1 ; k'_{12}=A_{12}k_1 ; k'_{22}=A_{22}k_2$$

ce qui donne:

$$A_{11}=\frac{V_{1AS}}{V_1} ; A_{12}=\frac{V_{1AS}}{V_2} ; A_{22}=\frac{V_{2AS}}{V_2}$$

On remarque que $A_{12}$ et $A_{22}$ sont reliés par:

$$A_{22}=\frac{V_{2AS}}{V_{1AS}}A_{12}$$

Posons $\mu=\frac{V_{2AS}}{V_{1AS}}$ caractéristique du système, alors $A_{22}=\mu A_{12}$.

Avec ces notations les forces de pression deviennent:

$$f_{11}=-A_{11}k_1x_1$$

$$f_{12}=-A_{12}k_1x_1+\sqrt{A_{12}A_{22}k_1k_2} x_2$$

$$f_{22}=-A_{22}k_2x_2+\sqrt{A_{12}A_{22}k_1k_2} x_1$$

L'équation du mouvement de l'équipage mobile du haut-parleur devient:

$$M_1\frac{d^2x_1}{dt^2}=Bli-k_1x_1-A_{11}k_1x_1-A_{12}k_1x_1-h_1\frac{dx_1}{dt} +\sqrt{A_{12}A_{22}k_1k_2} x_2$$

En remplaçant $i$ par sa valeur et en regroupant les termes il vient:

$$M_1\frac{d^2x_1}{dt^2}+(h_1+\frac{B^2l^2}{R})\frac{dx_1}{dt}+... ...A_{11}+A_{12})x_1- \sqrt{A_{12}A_{22}k_1k_2} x_2=\frac{Bl}{R}u$$

On pose encore:

$$H_1=h_1+\frac{B^2l^2}{R} ; \omega _0^2=\frac{k_1}{M_1} ; 2S_T\omega _0=\frac{H_1}{M_1}$$

En divisant par $M_1$ l'expression précédente il vient:

$$\frac{d^2x_1}{dt^2}+2S_T\omega _0\frac{dx_1}{dt}+\omega _0^2(... ...t{A_{12}A_{22}\frac{k_2}{M_1}\omega _0^2} x_2=\frac{Bl}{RM_1}u$$

L'équation du mouvement du passif est plus simple, les seules forces étant les forces de pression et la raideur:

$$M_2\frac{d^2x_2}{dt^2}=-k_2x_2-k_2A_{22}x_2+\sqrt{A_{12}A_{22}k_1k_2} x_1$$

On pose, bien évidemment, $\omega _2^2=\frac{k_2}{M_2}$ et $\omega _2^2=C\omega _0^2$ où $C$ est le carré de la pulsation de résonance normalisée à l'air libre du passif. En divisant par $M_2$ il vient:

$$\frac{d^2x_2}{dt^2}+C\omega _0^2(1+A_{22})x_2=\sqrt{A_{12}A_{22}C\omega _0^2\frac{k_1}{M_2}} x_1$$