L'équation du second degré

Le haut-parleur électrodynamique est un système régi, en première approximation par une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants. On ne s'étonnera donc pas de trouver dans les calculs des équations du second degré à résoudre. Un petit rappel sur la question nous semble donc nécessaire. Une telle équation peut se mettre sous la forme

$$a.x^2+b.x+c=0$$

On essaie de mettre le premier membre sous la forme d'un produit de facteurs

$$a(x^2+\frac{b}{a}.x+\frac{c}{a})$$

On remarque que $x^2+\frac{b}{a}.x$ est le début du développement du carré de $x+\frac{b}{2a}$ qui rajoute le terme $\frac{b^2}{4a^2}$ que nous devrons retrancher pour rétablir l'équilibre. Le premier membre devient alors

$$a.[(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2-4.ac}{4.a^2}]$$

Supposons que l'équation est bien du second degré $(a\neq 0)$ et posons $\Delta=b^2-4.ac$ , si ce terme est positif ou nul nous obtenons entre les crochets une différence de deux carrés qui nous permet de factoriser et d'obtenir

$$(x+\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{\Delta}}{2a})(x+\frac{b}{2a}-\frac{\sqrt{\Delta}}{2a})$$

Ainsi les racines de l'équation pourront s'écrire:

$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Il est facile de voir que la somme des racines vaut $-\frac{b}{a}$ et que leur produit vaut $\frac{c}{a}$. En particulier si le produit des racines est négatif le discriminant $\Delta$ est positif et il y a deux racines réelles de signe contraire à l'équation.

On est souvent amené à chercher deux nombres connaissant leur somme $S$ et leur produit $P$. Ces deux nombres sont solutions de l'équation de second degré:

$$X^2-S.X+P=0$$

Cette équation n'a de solutions que tout autant que $S^2-4.P\geq 0$ ou encore $S^2\geq 4P$. Ce qui nous permet d'énoncer deux théorèmes fondamentaux en physique:

La somme de deux nombres, dont le produit est constant, est minimale lorsque les deux nombres sont égaux (discriminant de l'équation nul).

Le produit de deux nombres, dont la somme est constante, est maximal lorsque les deux nombres sont égaux.

Dans $95\%$ des cas ces théorèmes permettent de résoudre des recherches de maximum ou de minimum sans avoir à calculer des dérivées. Nous aurons l'occasion de les utiliser par la suite.

On peut noter que l'équation "bicarrée" $a.x^4+b.x^2+c=0$ est un cas particulier de l'équation du second degré. Il suffit de poser $X=x^2$ et de ne conserver que les solutions positives de l'équation $a.X^2+b.X+c=0$ quand il y en a.