Etude de l'impédance

L'étude de l'impédance, qui est expérimentalement facile, va nous renseigner sur la bonne mise au point de l'enceinte et éventuellement fournir un bon sujet de travaux pratiques pour le premier cycle universitaire. On écrit l'équation électrique en amplitude complexe:

$$U=R.I+j\omega .Bl.X_1=R.I+j\nu \omega _0.Bl.X_1$$

Au numérateur de $X_1$ nous trouvons en facteur le terme $Bl/Rk_1$, qui multiplié par $Bl.\omega _0$ va donner $B^2l^2.\omega _0/Rk_1$, soit justement $2S_E$. On a donc

$$U=R.I+\frac{-j\nu [\nu ^2-C(1+A_2)]U.2S_E}{[\nu ^2-C(1+A_2)][\nu ^2-1-A_1]-A_1A_2C -2jS_T\nu[\nu ^2-C(1+A_2)]}$$

En regroupant les termes en $U$ il vient

$$U[1+\frac{j\nu [\nu ^2-C(1+A_2)]2S_E}{[\nu ^2-C(1+A_2)][\nu ^2-1-A_1]-A_1A_2C -2jS_T\nu[\nu ^2-C(1+A_2)]}]=R.I$$

et, en se rappelant que $S_T=S_E+S_M$, la réduction au même dénominateur donne

$$U\frac{[\nu ^2-C(1+A_2)][\nu ^2-1-A_1]-A_1A_2C -2jS_M\nu[\nu ... ...C(1+A_2)][\nu ^2-1-A_1]-A_1A_2C -2jS_T\nu[\nu ^2-C(1+A_2)]}=R.I$$

On obtient l'impédance en renversant la fraction

$$Z=\frac{U}{I}=R.\frac{[\nu ^2-C(1+A_2)][\nu ^2-1-A_1]-A_1A_2C... ... ^2-C(1+A_2)][\nu ^2-1-A_1]-A_1A_2C -2jS_M\nu[\nu ^2-C(1+A_2)]}$$

On cherche encore les pulsations réduites qui permettent d'obtenir une impédance réelle de façon à avoir une droite de LISSAJOUS sur l'écran de l'oscilloscope. Il est facile de voir qu'une de ces valeurs est $\nu ^2=C(1+A_2)$, soit la fréquence de résonance du passif dans l'enceinte . On a déjà vu que le haut-parleur était immobile pour cette fréquence et on ne s'étonne pas trouver une impédance égale à $R$, qui est un minimum.

Par ailleurs le terme réel du numérateur est égal au terme réel du dénominateur, en annulant ce terme on trouve le rapport de deux nombres imaginaires purs qui est un réel. De plus la valeur de l'impédance est alors $R.S_T/S_M$ dont on peut penser qu'elle est proche d'un maximum. Nous ne ferons pas le calcul pour le démontrer car il est trop compliqué et n'apporte rien au problème. L'équation permettant de calculer ces valeurs est

$$[\nu ^2-C(1+A_2)][\nu ^2-1-A_1]-A_1A_2C=0$$

$$\nu ^4-(1+A_1+C+A_2C)\nu ^2+C(1+A_1+A_2)=0$$

on obtient une équation bicarrée qui, si le discriminant est positif, a deux racines positives . En pratique, avec les valeurs numériques courantes, c'est ce qui se produit. Il faut prendre des valeurs exotiques pour que le discriminant soit négatif. Les valeurs de $\nu^2$ sont alors:

$$\nu ^2=\frac{(1+A_1+C+A_2C)\pm\sqrt{(1+A_1+C+A_2C)^2-4C(1+A_1+A_2)}}{2}$$

Une fois réalisée l'enceinte et déterminés ses paramètres on peut contrôler si la formule est correcte. En général l'accord est bon.