Tentative d'optimisation de la courbe de réponse

Le haut-parleur est fixé avec un $S_T$ compris en gros entre $1$ et $1,5$, on ne peut donc pas le modifier. La suspension du passif est aussi fixée par construction, on pourra seulement faire varier la masse de la membrane en lui collant une surcharge. Le seul autre paramètre dont nous soyons maître est alors le volume de l'enceinte. Il nous faut donc déterminer $V$ et $M_2$ pour avoir une courbe aussi plate que possible.

En utilisant les volumes équivalents aux raideurs du haut-parleur et du passif, on remarque que

$$A_1=\frac{V_{1AS}}{V} A_2=\frac{V_{2AS}}{V}=\frac{V_{2AS}}{V_{1AS}}.A_1=\mu A_1$$

Les volumes équivalents sont connus par construction et on a une relation simple entre les deux ce qui permet de n'en utiliser qu'un seul.

Pour optimiser la courbe de réponse il faut écrire qu'au voisinage de l'infini les deux premières dérivées du terme variable sont nulles. En pratique il est plus commode de prendre comme variable $\eta=1/\nu ^2$ et d'écrire que les deux premières dérivées sont nulles en $\eta=0$. On travaille sur le terme sous le logarithme que l'on a élevé au carré pour supprimer le radical. On désigne par $N$ le numérateur et par $D$ le dénominateur et on divise haut et bas par $\nu ^8$ , il vient:

$$N=(1-C\eta)^2$$

$$D=\{[1-C(1+A_2)\eta][1-(1+A_1)\eta]-A_1A_2C\eta ^2\}^2+4S_T^2\eta[1+C(1+A_2)\eta]^2$$

Ces expressions sont des polynômes en $\eta$ que l'on peut écrire

$$N=1+a_1\eta +a_2\eta ^2$$

$$D=1+b_1\eta +b_2\eta ^2+b_2\eta ^3+b_4\eta ^4$$

où les coefficients seront calculés seulement quand on en aura besoin. Le numérateur de la dérivée première du rapport est: $D.N'-N.D'$ et il faut écrire qu'il est nul pour $\eta=0$ soit $D(0).N'(0)-N(0).D'(0)=0$ ce qui donne $N'(0)=D'(0)$ et $a_1=b_1$. Or $a_1=-2C$ et $b_1=4S_T^2-2[C(1+A_2)+1+A_1]$ ce qui donne finalement

$$2S_T^2=1+A_1+A_2C$$

La dérivée seconde est un peu plus délicate à calculer et on a intérêt à travailler sur un produit :

$$(N.\frac{1}{D})'=N.(-\frac{D'}{D^2})+N'.\frac{1}{D}$$

$$(N.\frac{1}{D})''=N'.(-\frac{D'}{D^2})+N.(-\frac{D''}{D^2}+2\frac{D'^2}{D^3}) +N''.\frac{1}{D}-N'.\frac{D'}{D^2}$$

En réduisant au même dénominateur $D^3$ et en ne conservant que le numérateur il reste

$$N.(2D'^2-DD'')-2N'D'D+N''D^2$$

on écrit que ce numérateur est nul pour $\eta=0$, ce qui donne

$$2b_1^2-2b_2-2a_1b_1+2a_2=0$$

or on a vu que $a_1=b_1$ il reste donc $a_2=b_2$. Le terme en $a_2$ est facile à calculer, il vaut $C^2$, le terme en $b_2$ est un peu plus délicat, il faut développer le dénominateur et chercher le coefficient du terme en $\eta ^2$. Nous laissons au lecteur courageux le soin de faire ce calcul et nous en livrons le résultat:

$$C^2=[1+A_1+C+A_2C]^2+2[C(1+A_1+A_2+A_1A_2)-A_1A_2C]-8S_T^2C(1+A_2)$$

$$0=(1+A_1+A_2C)^2+2C(1+A_1+A_2C)+2C(1+A_1+A_2)-8S_T^2C(1+A_2)$$

on remplace $1+A_1+A_2C$ par $2S_T^2$ et il vient après simplification

$$2S_T^4+2CS_T^2+C(1+A_1+A_2)-4S_T^2C(1+A_2)=0$$

Nous avons une relation entre $A_1$ et $A_2$, $A_2=\mu A_1$, il nous faut déterminer $C$ et $A_1$, pour cela nous avons deux équations qui ne sont, hélas pas, du premier degré. On avait

$$C=\frac{2S_T^2-1-A_1}{A_2}=\frac{2S_T^2-1-A_1}{\mu A_1}$$

On reporte cette valeur et on en profite pour réduire au même dénominateur que l'on n'écrit pas

$$2S_T^4\mu A_1+(2S_T^2-1-A_1)[1-2S_T^2+A_1(1+\mu -4S_T^2\mu)]=0$$

En développant et en ordonnant les termes il vient l'équation du second degré en $A_1$

$$A_1^2(1+\mu -4S_T^2\mu )+A_1[6S_T^4\mu -2S_T^2(2+3\mu )+2+\mu ]+(2S_T^2-1)^2=0$$

Avec les valeurs habituelles de $S_T$ et de $\mu$ le premier coefficient est négatif et l'équation a deux racines l'une positive que nous conserverons et l'autre négative qui ne nous intéresse pas. Exprimons le discriminant

$$\Delta=[6S_T^4\mu -2S_T^2(2+3\mu )+2+\mu ]^2+4(2S_T^2-1)^2(4S_T^2\mu -1-\mu )$$

La racine que nous garderons est alors

$$A_1=\frac{6S_T^4\mu -2S_T^2(2+3\mu )+2+\mu +\sqrt{\Delta}}{2(4S_T^2\mu -1-\mu )}$$

Et là un ordinateur sera bien commode pour faire le calcul. Ayant ainsi déterminé la valeur de $A_1$, nous en déduisons la valeur de $C$

$$C=\frac{2S_T^2-1-A_1}{\mu A_1}$$

Cette optimisation peut nous guider pour fixer des premières valeurs des paramètres du système , mais pour la suite il est bon de disposer d'un traceur de courbes sur ordinateur qui fera tous les calculs nécessaires et donnera les courbes.

La section 12.10 donne le mode d'emploi de ActifPassif2.exe fonctionnant à partir de Windows 95 sur un PC équipé d'un écran 1024x768. Avec mes excuses pour les lecteurs disposant d'un autre matériel.