Rayonnement de l'évent

A partir de l'expression de $X_2$ en fonction de $X_1$ on tire

$$X_2=\frac{\frac{\gamma P.\Sigma _1.\Sigma _2}{V_2.M_2.\omega _0^2}.X_1}{C-\nu ^2}$$

ce qui donne le flux d'accélération en multipliant par $-\omega ^2.\Sigma_2$

$$\Phi_2=-\frac{\frac{\gamma .P.\Sigma _2^2}{M_2.V_2}.\nu ^2.\Sigma_1.X_1}{C-\nu ^2}$$

En regroupant les termes on fait apparaître l'efficacité intrinsèque du haut-parleur et il reste

$$\Phi _2=\frac{C.\nu ^2.E.U}{(1+A_1+A_2-\nu ^2).(\nu ^2-C)+A_2.C+2.S_T.j\nu .(\nu ^2-C)}$$

On a le niveau acoustique en $dB$ à $1 m$ par la relation $N dB=20.\log 4775.\vert\Phi _2\vert$, soit

$$N=20.\log 4775.E.U+20.\log\frac{C.\nu ^2}{\sqrt{[(1+A_1+A_2-\nu ^2).(\nu ^2-C)+A_2.C]^2 +4.S_T^2.\nu ^2.(\nu ^2-C)^2}}$$

Le premier terme est une constante qui représente le rendement du haut-parleur dans une enceinte de volume $V_1$. Occupons nous du second terme.

On cherche les asymptotes quand $\nu \rightarrow 0$ et quand $\nu \rightarrow \infty$.

Pour $\nu \rightarrow 0$ le second terme se réduit à $20.\log\frac{\nu ^2}{1+A_1}$ , il est donc représenté par une droite de pente $12 dB/octave$, passant par le point $\sqrt{1+A_1}$ sur l'axe des fréquences réduites.

Pour $\nu \rightarrow \infty$ le second terme se réduit à $-20.\log\frac{\nu ^2}{C}$, il est représenté par une droite de pente $-12 dB/octave$ passant par le point $\sqrt{C}$ sur l'axe des fréquences réduites. Suivant les positions relatives de $\sqrt{1+A_1}$ et $\sqrt{C}$ sur l'axe des fréquences on aura des types de courbes de réponse différents. En pratique on choisit un cas particulier qui permet d'obtenir une courbe symétrique: on prend $1+A_1=C$. Pour simplifier un peu les calculs il est commode de changer l'origine des pulsations normalisées et de poser $\nu ^2=C.\eta$. En divisant le terme dans le logarithme haut et bas par $C^2.\eta$ on peut écrire le second terme:

$$-10.\log\{[(A_2+C-C.\eta).(\frac{1}{C}-\frac{1}{C.\eta })+\fr... ...C.\eta}]^2 +4.S_T^2.C.\eta .(\frac{1}{C}-\frac{1}{C.\eta })^2\}$$

En faisant les simplifications d'usage et après deux lignes de calcul il reste

$$-10.\log\{[(1-\eta ).(1-\frac{1}{\eta})+\frac{A_2}{C}]^2+4.\frac{S_T^2}{C}.(\eta -1). (1-\frac{1}{\eta })\}$$

On constate que si on change $\eta$ en $\frac{1}{\eta }$ dans l'expression on retrouve la même valeur. La courbe est donc symétrique (en échelle logarithmique) par rapport à $\eta =1$ et on observera un extremum pour cette valeur.

On peut calculer la dérivée du terme entre accolades pour déterminer si la courbe est voisine de sa tangente horizontale. Après deux lignes de calcul on trouve:

$$(\frac{1}{\eta ^2}-1).\{2.[(1-\eta ).(1-\frac{1}{\eta })+\frac{A_2}{C}]-4\frac{S_T^2}{C}\}$$

On voit que cette dérivée s'annule pour $\eta ^2=1$, donc l'extremum est très plat ( au troisième ordre près ) et si on annule en plus le terme entre accolades soit $A_2=2.S_T^2$ la courbe sera encore plus proche de sa tangente horizontale.

Il est normal de réaliser une enceinte dont le rendement maximal serait le même que celui du haut-parleur en enceinte close. A cet effet il suffit de faire $A_2=C$ pour que le second terme soit nul en $\eta =1$. On retrouve alors le rendement du haut-parleur dans son enceinte. Le réglage optimal du super woofer à évent se fait alors avec $A_2=C=2.S_T^2=A_1+1$ et on constate avec surprise que le carré du facteur d'amortissement de l'enceinte close de volume $V_1$ est tel que

$$\frac{S_T^2}{1+A_1}=\frac{1}{2}$$

en extrayant la racine carrée on retrouve pour cette configuration un filtre de BUTTERWORTH d'ordre 2. Cela implique en particulier que le haut-parleur utilisé soit de bonne qualité et que son $S_T$ soit assez supérieur à $0,7$. D'un autre côté il ne faut pas que sa valeur soit trop grande car la fréquence centrale de la courbe de réponse vaut $\sqrt{C}=S_T.\sqrt{2}$ et on risque de ne pas descendre assez bas en fréquence.

On peut, avec cette configuration, rechercher les points de la courbe correspondant à une chute de $3 dB$. Cela est obtenu lorsque le terme entre accolades vaut $2$:

$$[(1-\eta ).(1-\frac{1}{\eta })+1]^2+2.(\eta -1).(1-\frac{1}{\eta })=2$$

après deux lignes de calcul on tombe sur l'équation du second degré

$$\eta ^2-3.\eta +1=0$$

dont les racines sont

$$\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}$$

soit numériquement $\eta _1=0,38 \eta _2=2,62$, ce qui donne pour les fréquences normalisées $\nu _1=0,62.\sqrt{C} \nu _2=1,62.\sqrt{C}$. Le rapport de ces deux fréquences vaut $2,62$ soit un peu moins d'une octave et demie ($2,83$).