La représentation complexe des fonctions sinusoïdales du temps

Une fonction sinusoïdale du temps peut s'écrire $x=X_{max}\cos(\omega t+\varphi)$ où $\omega$ est la pulsation en général connue qui constitue une information commune à toutes les fonctions sinusoïdales de même pulsation. Les nombres qui caractérisent la fonction $x(t)$ sont en fait l'amplitude maximale $X_{max}$ et le déphasage $\varphi$ de la fonction par rapport à $\cos\omega t$, ce sont les mêmes éléments qui définissent un nombre complexe. On est donc fortement tenté de représenter une fonction sinusoïdale du temps de pulsation $\omega$ par un nombre complexe de module $X_{max}$ et d'argument $\varphi$. Il nous faut malgré tout prendre un petit nombre de précautions mathématiques. L'ensemble de départ est l'ensemble des fonctions sinusoïdales du temps de pulsation $\omega$ , l'ensemble d'arrivée est l'ensemble des nombres complexes. Nous serons donc amené à définir une fonctionnelle, comme les équations différentielles que nous auront à traiter seront linéaires, autant choisir une fonctionnelle linéaire quitte à limiter son domaine d'application: toute opération linéaire dans le domaine des dérivées se transformera en une même opération linéaire dans le plan complexe. En revanche on ne pourra pas représenter le produit de deux fonctions sinusoïdales.

Comment passer de $X_{max}\cos(\omega t+\varphi)$ à $X_{max} e^{j\varphi}$ ? Le plus simple est de considérer que la fonction sinusoïdale est la partie réelle de $e^{j(\omega t+\varphi)}$. On obtient le résultat désiré en supprimant le terme en $e^{j\omega t}$. Ainsi on obtient la dérivation en multipliant par $j\omega$ le terme en exponentielle, ce qui nous donne la règle dans le plan complexe.

Il se pose alors le délicat problème de la notation des amplitudes complexes. Le moyen le plus simple est de faire correspondre une lettre majuscule pour l'amplitude complexe à la lettre minuscule représentant la fonction. Mais de nombreux enseignants ont des scrupules car il existe une norme NF qui réserve V et I pour les valeurs efficaces des tensions et intensités d'un appareil électrique; ils proposent donc soit la notation $\overline{V}$ soit la notation $\underline{V}$ ce qui complique les calculs. Pour notre part nous n'aurons pas de ces pudeurs de jeune fille et nous utiliserons la notation majuscule simple pour l'amplitude complexe. De toutes les façons comme nous ne vendons pas d'appareil électrique nous ne tombons pas sous le coup de la loi. Par ailleurs l'amplitude maximale d'une fonction sinusoïdale sera désignée par $X_{max}$ et sa valeur efficace par $X_{eff}=X_{max}/\sqrt{2}$ ce qui est somme toute plus clair.

En résumé on peut dresser le tableau suivant avec dans la colonne de gauche le domaine des fonctions sinusoïdales du temps et dans la colonne de droite les amplitudes complexes.

DOMAINE DU TEMPS	DOMAINE COMPLEXE
$x=X_{max}\cos(\omega t+\varphi)$	$X=X_{max} e^{j\varphi}$
$x=A_1.x_1+A_2.x_2+\cdots$	$X=A_1.X_1+A_2.X_2+\cdots$
$dx/dt$	$j\omega X$
$d^2x/dt^2$	$(j\omega)^2.X$
$\cdots$	$\cdots$