Vérification expérimentale du modèle

Comme nous l'avons déjà fait nous déterminerons les fréquences pour lesquelles on a une impédance réelle (droite sur l'écran de l'oscilloscope).Pour cela il faut que le dénominateur de la fraction précédente soit un imaginaire pur

$$1+A-\nu ^2+2.S_{1M}.j\nu -\frac{A.C}{C-\nu ^2+2.S_{2M}.\sqrt{C}.j\nu }$$

On multiplie par la quantité conjuguée du dénominateur et on obtient

$$1+A-\nu ^2+2.S_{1M}.j\nu -\frac{A.C.[(C-\nu ^2)-2.S_{2M}.\sqrt{C}.j\nu ]}{[C-\nu ^2]^2 +4. S_{2M}^2.C.\nu ^2}$$

On annule alors le terme réel pour ne conserver que le terme imaginaire

$$1+A-\nu ^2-\frac{A.C.(C-\nu ^2)}{(C-\nu ^2)^2+4.S_{2M}^2.C.\nu ^2}=0$$

Ce qui donne

$$[1+A-\nu ^2].[(C-\nu ^2)^2+4.S_{2M}^2.C.\nu ^2]-A.C.(C-\nu ^2)=0$$

On obtient ainsi une équation du troisième degré en $\nu^2$ et on peut poser $y=\nu ^2$. On obtiendra alors soit une soit trois solutions réelles en $y$, encore faut-il que ces solutions soient positives pour convenir. L'équation en $y$ s'écrit:

$$y^3-(1+A+2C-4.S_{2M}^2.C)y^2-[A.C-C^2+2(1+A)C(2.S_{2M}^2-1)]y-C^2=0$$

Si on n'avait pas introduit le terme d'amortissement de l'évent on aurait trouvé comme solution $\nu ^2=C$ soit $y=C$. On peut faire l'hypothèse que l'amortissement de l'évent perturbe peu le phénomène et que l'on peut chercher une solution de la forme $y=C(1+ \varepsilon )$, avec $\varepsilon \ll 1$. On ne conservera alors dans les termes en $y$ que les termes du premier ordre en $\varepsilon$

$$(1+\varepsilon )^3\approx 1+3\varepsilon (1+\varepsilon )^2\approx 1+2\varepsilon$$

Le calcul ne présente pas de difficultés particulières et on ne peut qu'inciter le lecteur à le faire, il doit trouver comme résultat:

$$\varepsilon=\frac{4.S_{2M}^2.(1+A-C)}{4.S_{2M}^2.(2C-A-1)-A}$$

Revenons maintenant au dénominateur du calcul de l'impédance, sa partie réelle est nulle et sa partie imaginaire vaut:

$$j(2.S_{1M}\nu +\frac{2.S_{2M}.A.C.\sqrt{C}\nu }{(C-\nu ^2)^2+4.S_{2M}^2.C.\nu ^2})$$

Au voisinage de $\nu ^2=C$ on peut l'écrire:

$$j\nu .(2.S_{1M}+\frac{A}{2.S_{2M}.\sqrt{C}})$$

Et en revenant au calcul de l'impédance on obtient comme valeur approchée:

$$Z\approx R+\frac{R.S_{1E}}{S_{1M}+\frac{A}{4.S_{2M}.\sqrt{C}}}$$

La valeur de l'impédance est mesurée et les caractéristiques du haut-parleur sont connues, on peut donc isoler le terme en $S_{2M}$ pour le calculer:

$$4.S_{2M}.\sqrt{C}=\frac{A}{S_{1E}.\frac{R}{Z-R}-S_{1M}}=2.\lambda$$

Cette valeur de $\lambda$ pourra être reportée dans la valeur de $\varepsilon$

$$\varepsilon=\frac{y-C}{C}=\frac{4.S_{2M}^2.\sqrt{C}.(1+A-C)}{4.S_{2M}^2.\sqrt{C}. (2C-1-A) -A.C}$$

On en tire une expression permettant de calculer $C$ par itération:

$$C=y+\frac{\lambda ^2.C.(1+A-C)}{A.C-\lambda ^2.(2C-1-A)}$$

Contrôle avec le $13MP5R$ en bass-reflex.

Nous ne donnons que les valeurs nécessaires pour faire les calculs:

$$T_0=11,75 ms R=5,50 \Omega M_1=7,5.10^{-3} kg k_1=2000 N.m^{-1} \ Bl=6,6 T.m$$

$$S_{1M}=0,11 S_{1E}=1,02 \vert Z\vert=7,6 \Omega T_2=13,335 ms \nu =0,88 A=0,55$$

On en tire $2\lambda =0,214$ et après deux tours d'itération $\sqrt{C}=0,883$ ce qui confirme l'hypothèse $\nu \approx\sqrt{C}$. Puis on calcule $S_{2M}=0,06$ ce qui montre bien que le terme correctif est faible.

En conclusion on peut dire que le fait de négliger l'amortissement de l'évent ne perturbe que peu les calculs et qu'il est légitime compte tenu du fait que l'on fait des approximations sur le modèle du haut-parleur. Nous n'en parlerons plus dans la suite.