Etude de l'amortissement de l'évent

Nous avons, jusqu'à maintenant, négligé toute force de frottement fluide dans l'étude du mouvement de l'air dans l'évent. Cette hypothèse est très simplificatrice car il y a au moins deux types de perte d'énergie: le rayonnement de l'évent et le frottement de l'air sur la paroi de l'évent. Nous avons déjà vu au paragraphe 4.3 que le coefficient $h$ correspondant au rayonnement était proportionnel au carré de la pulsation, ce qui ne simplifie pas les choses, en revanche, aux fréquences basses, sa valeur numérique est faible. On admettra, ce qui est le modèle le plus simple, que l'air dans l'évent est soumis à une force de frottement fluide proportionnelle à la vitesse et opposée à celle-ci de la forme $-h_2.\frac{dx_2}{dt}$. L'équation du mouvement devient alors:

$$M_2.\frac{d^2x_2}{dt^2}=-\gamma P.\frac{\Sigma _2}{V}.(\Sigma 1.x_1+\Sigma _2.x_2)-h_2. \frac{dx_2}{dt}$$

Les notations du paragraphe 9.1 sont conservées et on ajoute le facteur d'amortissement mécanique de l'évent:

$$2.S_{2M}=\frac{h_2}{M_2.\omega _2}$$

On divise des deux côtés par $M_2.\omega _0^2$ et on passe en amplitude complexe, il vient

$$X_2=\frac{-C.\Sigma _1.X_1/\Sigma _2}{C-\nu ^2+2.S_{2M}.\sqrt{C}.j\nu }$$

On reporte l'expression de $X_2$ dans l'équation du mouvement du haut-parleur en amplitude complexe . Cela permet de calculer $X_1$ en fonction de $I$ et en reportant la valeur dans l'équation électrique on obtient:

$$U=R.I+\frac{j\nu .\omega _0.\frac{B^2l^2}{k_1}.I}{1+A-\nu ^2+2.S_{1M}.j\nu-\frac{A.C} {C-\nu ^2+2.S_{2M}.\sqrt{C}.j\nu }}$$

ce qui donne pour valeur de l'impédance

$$Z=R+\frac{2.S_{1E}.R.j\nu }{1+A-\nu ^2+2.S_{1M}.j\nu -\frac{A.C}{C-\nu ^2+2.S_{2M} \sqrt{C} j\nu }}$$

En faisant $S_{2M}=0$, on retrouve bien l'expression du paragraphe 10.1.