Résonateur de HELMHOLTZ

Inventé à la fin du dix-neuvième siècle pour l'étude des sons complexes il n'a été utilisé que bien plus tard dans l'enceinte bass-reflex. A l'origine il était constitué d'une sphère creuse en laiton percée de deux trous diamétralement opposés. Sur l'un d'eux était soudé un petit tuyau se mettant dans l'oreille et sur l'autre un tuyau de diamètre plus grand jouant le rôle d'évent. Le modèle le plus simple pour expliquer le fonctionnement de ce résonateur consiste à considérer que la transformation subie par l'air dans le volume de l'enceinte est adiabatique et que l'air dans le tuyau cylindrique se déplace en bloc comme un piston.

La masse de l'air dans l'évent est alors $M_2=\mu .\Sigma _2.l_2$. En désignant par $M$ la masse molaire de l'air , par $T$ sa température et par $R$ la constante des gaz parfaits, la masse volumique s'écrit: $\mu=M.P_0/R.T$ où $P_0$ est la pression statique de l'air. Par ailleurs le volume $V$ d'air exerce une raideur sur la surface $\Sigma _2$ : $k'_2= \gamma P_0.\Sigma _2^2/V$. L'ensemble formé d'un ressort et d'une masse constitue un résonateur de pulsation de résonance:

$$\omega _2^2=\frac{k'_2}{M_2}=\frac{\gamma .P_0.\Sigma _2^2.R.T}{V.M.P_0.\Sigma_2.l_2}$$

après simplification par $P_0$ et $\Sigma _2$ il reste

$$\omega _2^2=\frac{\gamma.R.T.}{M}.\frac{\Sigma _2}{V.l_2}$$

Dans la première fraction on reconnait l'expression du carré de la célérité du son dans un gaz trouvée au paragraphe 4.3 $c^2$, la seconde dépend des caractéristiques physiques du résonateur. Il est souvent plus commode de donner la fréquence de résonance $f_2$

$$f_2=\frac{c}{2\pi}.\sqrt{\frac{\Sigma _2}{V.l_2}} =54.\sqrt{\frac{\Sigma _2}{V.l_2}}$$

dans le système légal d'unités.

Dans le cas de l'enceinte bass-reflex dont on étudie l'impédance l'une des fréquences d'annulation de l'argument est justement $f_2$. On peut donc vérifier si le modèle est correct. En fait la valeur trouvée expérimentalement est plus faible que la valeur du modèle, on peut l'interpréter en disant que la longueur à prendre en compte dans le calcul est plus grande que la simple longueur géométrique de l'évent. L'une des premières idées est qu'il faut prendre en compte la masse de rayonnement de l'évent dans le cas de la sphère pulsante. Avec la formule de la masse de rayonnement du paragraphe 4.3 on voit que cela revient à ajouter une longueur $\sqrt{\Sigma _2}/2\sqrt{\pi}$ et que la formule donnant $f_2$ est alors:

$$f_2=54.\sqrt{\frac{\Sigma _2}{V.[l_2+0,28.\sqrt{\Sigma _2}]}}$$

Même avec cette correction on a encore un écart entre le modèle et l'expérience. Nous verrons au paragraphe suivant un modèle un peu plus élaboré qui donne de meilleurs résultats.

L'évent d'un bass-reflex a parfois la forme d'un parallélépipède rectangle fait avec quatre morceaux de planche. Mais on trouve le plus souvent un simple bout de tuyau cylindrique de révolution de rayon $a$, de surface $\pi .a^2$, de sorte que le longueur représentant la masse de rayonnement vaut alors $a/2$, le résultat est assez simple pour qu'on le signale au passage.

Le modèle que nous venons de voir n'est valable qu'aux basses fréquences. A des fréquences plus élevées il y a des phénomènes de propagation dans le tuyau et on se retrouve dans le cas des tuyaux sonores utilisés, par exemple, dans les instruments de musique à vent. On observe alors des résonances et antirésonances de tuyau à des fréquences très précises. Cela perturbe le fonctionnement de l'enceinte dans les fréquences du domaine médium. C'est l'une des raisons pour laquelle il vaut mieux éviter d'utiliser une enceinte bass-reflex dans ce registre, il faut la couper en fréquence avant. De plus si on augmente la section du tuyau, on augmente en conséquence sa longueur et cela risque d'être gênant pour les dimensions de l'enceinte. Une petite surface d'évent va entraîner de grands déplacements dans celui-ci et le modèle linéaire ne sera plus valable, on pourra observer des phénomènes tourbillonnaires et l'enceinte ne fonctionnera plus très bien.