Calcul de l'impédance

Nous avons, au chapitre précédent, étudié un modèle de rayonnement pour l'enceinte bass-reflex. La vérification expérimentale du modèle suppose de disposer d'une bonne chambre anéchoïque permettant des mesures en dessous de $100 Hertz$, ce qui est rarissime. Il ne sera, en fait, pas possible de vérifier le modèle et on devra se contenter de l'utiliser pour les calculs de mise au point d'enceintes, l'oreille étant alors seule juge de leur justesse. Fort heureusement ça marche. En revanche il est facile de faire des mesures d'impédance et il est donc intéressant de calculer l'impédance du bass-reflex pour vérifier la validité du modèle, même si on n'en tire pas des renseignements sur le rayonnement.

On part des calculs précédents en amplitude complexe et on écrit la tension aux bornes de la bobine sous la forme

$$U=R.I+Bl.j\omega .X_1=R.I+\frac{\frac{B^2l^2}{R.k_1}.j\omega ... ...0}{\omega _0}} {1-A- \nu ^2+\frac{A.C}{\nu ^2-C}+2.S_T.j\nu }.U$$

en regroupant les termes en $U$, il vient

$$U[1-\frac{\frac{B^2l^2}{R\sqrt{k_1.M_1}}.j\nu }{1-A- \nu ^2+\frac{A.C}{\nu ^2-C}+2.S_T.j\nu }] =R.I$$

En reprenant les notations du paragraphe 3.5 on fait apparaître le facteur d'amortissement mécanique $2S_M=h/\sqrt{k_1.M_1}=h.\omega _0/k_1$. Ainsi l'expression de l'impédance du bass-reflex devient:

$$Z=\frac{U}{I}=R.\frac{1-A- \nu ^2+\frac{A.C}{\nu ^2-C}+2.S_T.j\nu } {1-A- \nu ^2+\frac{A.C} {\nu ^2-C}+2.S_M.j\nu }$$

Comme nous savons repérer facilement expérimentalement les fréquences pour lesquelles l'argument de l'impédance est nul (droite de LISSAJOUS), nous allons chercher les fréquences du modèle qui rendent l'impédance réelle. Il est évident que $\nu ^2=C$ en est une et que l'impédance vaut alors $R$, sans trop de calculs on peut penser que cette valeur est un minimum d'impédance ou en tout cas très voisine d'un minimum. On peut donc ainsi mesurer expérimentalement la fréquence de résonance de l'évent $f_{\acute{e}vent}=f_0.\sqrt{C}$.

Par ailleurs on constate que les parties réelles du numérateur et du dénominateur sont égales et que les parties imaginaires sont proportionnelles. Si, donc, on annule les parties réelles il reste un rapport réel et on peut écrire:

$$Z=R.\frac{S_T}{S_M}$$

cette valeur obtenue pour deux fréquences étant proche d'un maximum d'impédance. L'équation dont $\nu^2$ est solution peut s'écrire:

$$1-A- \nu ^2+\frac{A.C}{\nu ^2-C}=0$$

on en tire facilement l'équation bicarrée (en supposant $\nu ^2\neq C$)

$$\nu ^4-(1+A+C).\nu ^2+C=0$$

dont les solutions sont

$$\nu ^2=\frac{1+A+C\pm \sqrt{(1+A+C)^2-4.C}}{2}$$

sous réserve d'existence, a priori le terme sous le radical a des chances d'être positif, en tout cas dans la mise au point d'enceintes réelles on trouve bien deux valeurs: l'une en dessous de $\nu ^2=C$, l'autre en dessus de $\nu ^2=C$ (le produit des racines vaut $C$).

Le petit appareil décrit au chapitre 6 nous permettra de faire les mesures sans dépenser trop d'argent. On déterminera ainsi la fréquence de résonance de l'évent, dont nous verrons le calcul plus loin, et à l'aide de la valeur de $A=V_{AS}/V$ que l'on reportera dans les deux autres valeurs on vérifiera si le modèle est convenable. En pratique on trouve une adéquation entre le modèle et l'expérience de l'ordre du pour cent. Dans le cadre de mesures sur l'acoustique cela est très bon et le modèle peut être considéré comme correct. Nous verrons plus loin qu'il n'en est pas de même avec le modèle simplifié du résonateur de HELMHOLTZ tel qu'il est enseigné.