Rappels sur les nombres complexes

Elle est basée, bien évidemment, sur la notion de nombre complexe. Disons tout de suite que si le nom peut faire peur il n'y a rien de compliqué dans cette notion. La dénomination a été choisie pour des raisons historiques et conservée depuis, mais on pourrait tout simplement les appeler des "doublets", ce que les mathématiciens ne font pas pour conserver un peu de leur pouvoir. Un nombre complexe est donc un ensemble de deux réels $a$ et $b$ pris dans cet ordre $(a,b)$ : $a$ est appelé la partie réelle du nombre et $b$ la partie imaginaire. Ces noms ne sont que des moyens de les distinguer et il ne faut pas leur accorder le sens que le langage normal leur attribue. Cet ensemble de deux nombres peut être représenté, dans le plan euclidien orthonormé d'origine $O$, par un point $M$ d'abscisse $a$ et d'ordonnée $b$. Le vecteur $\overrightarrow{OM}$ est alors caractérisé par sa norme $\rho =\sqrt{a^2+b^2}$ et par son argument $\varphi$ (angle que fait le vecteur avec l'axe des réels).

Il est utile de faire des calculs sur les nombres complexes avec des règles analogues à celles des nombres réels. Pour cela on introduit le nombre complexe $j$ tel que $j^2=-1$ . Nous employons ici la lettre "$j$" plutôt que la lettre "$i$" des mathématiciens car en électricité cette dernière représente l'intensité du courant électrique. Ce nombre $j$ est alors représenté dans le plan que nous appellerons désormais plan complexe par le point $(0,1)$, l'axe des ordonnées prenant alors le nom d'axe des imaginaires.

Le nombre complexe $(a,b)$ sera alors représenté par l'expression $a+jb$ et l'on pourra faire tous les calculs habituels (somme, produit) sur cet expression en remplaçant chaque fois qu'on le rencontre $j^2$ par $-1$ et en regroupant les termes réels et imaginaires. On peut utiliser une autre représentation basée sur le vecteur $\overrightarrow{OM}$ , en effet $a=\rho \cos\varphi$ et $b=\rho \sin\varphi$ ,soit $a+jb=\rho(\cos\varphi+j\sin\varphi)$. En développant en série $\cos\varphi$ et $\sin\varphi$ on constate que le terme $\cos\varphi+j\sin\varphi$ est la développement en série de $e^{j\varphi}$, de sorte que $a+jb$ peut s'écrire $\rho e^{j\varphi}$. Cela simplifie en particulier les calculs sur les produits: le produit de deux nombres complexes a pour module le produit des modules et pour argument la somme des arguments.