Optimisation de la courbe de réponse

Toute optimisation résulte d'un parti pris. Ici nous chercherons à obtenir la courbe la plus proche possible de l'asymptote horizontale, donc du filtre de BUTTERWORTH d'ordre $4$. Rappelons pour bien fixer les idées la valeur du module de la fonction de transfert d'un filtre de BUTTERWORTH d'ordre $n$ passe-bas d'abord car c'est le plus facile:

$$\frac{1}{\sqrt{1+\nu ^{2n}}}$$

en fréquence réduite. Pour le passe-haut d'ordre $n$ on a

$$\frac{\nu ^{n}}{\sqrt{1+\nu ^{2n}}}$$

On voit donc que, pour obtenir un BUTTERWORTH d'ordre $4$ passe-haut, il suffit que les termes en $\nu^2$,$\nu ^4$ et $\nu ^6$ soient nuls sous le radical. Nous laissons au lecteur le soin de faire le calcul qui ne présente pas de difficultés et nous en donnons seulement le résultat pour les trois termes à annuler

$$4.S_T^2-2.(1+A+C)=0$$

$$(1+A+C)^2+2.C-8.S_T^2.C=0$$

$$4.S_T^2.C^2-2.C.(1+A+C)=0$$

Nous obtenons un système de trois équations à trois inconnues $A$,$C$,$S$ que nous pouvons espérer résoudre. On voit facilement en comparant la première et la dernière que $C=1$ est solution , d'où on tire $2+A=2.S_T^2$, que l'on reporte dans la deuxième équation et cela donne

$$4.S_T^4+2-8.S_T^2=0 2.S_T^4-4.S_T^2+1=0$$

On a ainsi une équation bicarrée facile à résoudre et on a deux racines en $S_T^2$

$$S_T^2=\frac{2\pm \sqrt{4-2}}{2}=\frac{2\pm \sqrt{2}}{2}$$

soit $S_T=1,3$ et $S_T=0,54$. En reportant l'expression de $S_T^2$ dans la première équation pour chacune des valeurs trouvées il vient:

$$2.S_T^2=2+\sqrt{2}=2+A A=\sqrt{2}$$

$$2.S_T^2=2-\sqrt{2}=2+A A=-\sqrt{2}$$

La deuxième valeur de $A$ est bien entendu impossible et nous ne conserverons que la première.

Pour obtenir une enceinte bass-reflex en BUTTERWORTH d'ordre $4$ il faut choisir un haut-parleur donc le facteur d'amortissement soit $S_T=1,3$, avec un évent accordé sur la fréquence de résonance du haut-parleur dans une enceinte de volume infini et avec un volume de l'enceinte égal à $V_{AS}/\sqrt{2}$. C'est pour cela que les bons haut-parleurs ont des $S_T$ compris entre $1$ et $1,5$, ce qui leur permet de se rapprocher de l'optimisation du bass-reflex.

Si le facteur d'amortissement n'a pas la valeur exacte pour l'optimisation en BUTTERWORTH d'ordre $4$, on peut s'en rapprocher en annulant seulement deux termes au lieu de trois et on ne conserve que la première et la deuxième équation vues précédemment. On calcule donc $A$ et $C$ en fonction de $S_T$. On a un système linéaire de deux équations à deux inconnues dont la solution est immédiate:

$$C=\frac{2.S_T^4}{4.S_T^2-1} A=\frac{6.S_T^4-6.S_T^2+1}{4.S_T^2-1}$$

Ces valeurs peuvent servir de point de départ à la recherche d'une courbe de réponse convenable à l'aide d'un logiciel de tracé de courbe. En effet on peut postuler d'autres optimisations par exemple descendre le plus bas possible en fréquence en acceptant une ondulation de la courbe de réponse. On peut ainsi obtenir des filtres de type TCHEBYCHEV.