Calcul en amplitude complexe

Nous nous proposons, dans un premier temps de calculer le flux d'accélération sortant de l'enceinte. Avec les notations classiques ( lettres majuscules pour les amplitudes complexes ) il s'écrit:

$$\Phi=\Phi _1+\Phi _2=(j\omega)^2.(\Sigma _1.X_1+\Sigma _2.X_2)$$

Il pourra être commode, au passage de calculer les amplitudes des déplacements pour voir si nous sommes bien dans les limites du modèle. Par ailleurs on pourra manipuler la pulsation ou fréquence normalisée:

$$\nu=\frac{\omega}{\omega _0}=\frac{f}{f_0}$$

En amplitude complexe les équations s'écrivent:

$$[(j\omega )^2+2.S_T.\omega _0.j\omega+\omega _0^2.(1+A)]X_1=-A.\omega _0^2.\frac{\Sigma _2.X_2} {\Sigma _1}+\frac{Bl.U}{R.M_1}$$

$$[(j\omega )^2+C.\omega _0^2].X_2=-C.\omega _0^2.\frac{\Sigma _1.X_1}{\Sigma _2}$$

En divisant par $\omega _0^2$ on passe à la pulsation réduite:

$$[(j\nu )^2+2.S_T.j\nu +1+A].X_1=-A.\frac{\Sigma _2.X_2}{\Sigma _1}+\frac{Bl.U}{R.k_1}$$

$$[(j\nu )^2+C].X_2=-C.\frac{\Sigma _1.X_1}{\Sigma_2}$$

On tire de la seconde $X_2$ en fonction de $X_1$ et on reporte dans la première:

$$X_2=\frac{-C}{C-\nu ^2}.\frac{\Sigma _1}{\Sigma _2}.X_1$$

$$[-\nu ^2+2.S_T.j\nu +1+A].X_1=\frac{A.C}{C-\nu ^2}.X_1+\frac{Bl.U}{R.k_1}$$

Ce qui donne:

$$X_1=\frac{\frac{Bl.U}{R.k_1}}{1+A-\nu ^2+\frac{A.C}{\nu ^2-C}+2.S_T.j\nu }$$

En prenant le module de cette expression on passe aux valeurs maximales:

$$X_{1max}=\frac{\frac{Bl.U_{max}}{R.k_1}}{\sqrt{(1+A-\nu ^2+\frac{A.C}{\nu ^2-C})^2 +4.S_T^2. \nu ^2}}$$

On constate que pour $\nu ^2=C$, c'est à dire lorsque la fréquence est égale à la fréquence de résonance de l'évent la valeur maximale de $x_1$ est nulle: à la résonance de l'évent il y a antirésonance de la membrane, ce qui est une bonne chose pour la linéarité. En revanche quand $\nu \rightarrow 0$ l'amplitude tend vers

$$\frac{Bl.U_{max}}{R.k_1}$$

qui est l'amplitude qu'aurait la membrane dans une enceinte de volume infini. Il faut donc éviter de descendre trop bas en fréquence avec une enceinte bass-reflex, il y a un risque de talonnement du haut-parleur.

Avec la deuxième équation on peut calculer facilement l'amplitude maximale du déplacement de l'air dans l'évent:

$$X_{2max}=\frac{C}{\mid C-\nu ^2\mid }.\frac{\Sigma _1}{\Sigma _2}.X_{1max}$$

Dans l'expression de $X_{1max}$ le terme sous le radical se réduit à

$$[\frac{AC}{\nu ^2-C}]^2$$

au voisinage de $\nu=\sqrt{C}$ et $X_{2max}$ tend alors vers

$$\frac{\Sigma _1}{\Sigma _2}.\frac{Bl.U_{max}}{R.A.k_1}$$

Pour des raisons de construction la surface de l'évent est toujours plus petite que la surface de la membrane, on voit donc que le déplacement de l'air dans l'évent est toujours plus important que le déplacement de la membrane et que le modèle choisi est défaillant aux grandes élongations.