Modélisation de l'enceinte

Nous avons vu au paragraphe 5.2 qu'avec un bon haut-parleur et une enceinte de volume conséquent on avait un amortissement important de l'extrême grave. Pour compenser cette perte de rendement on utilise un résonateur auxiliaire sous la forme soit d'un évent soit d'un haut-parleur passif. Dans le cas de l'évent on dit que l'on a un système bass-reflex, origine anglo-saxonne garantie. Ce type de résonateur était connu, bien avant l'invention du haut-parleur, sous le nom de "résonateur de HELMHOLTZ". Il figure, à ce titre, dans les exercices classiques du premier cycle des Universités et des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Scientifiques.

L'enceinte bass-reflex est donc constituée d'une enceinte close de volume $V$, dans la paroi de laquelle on a monté un haut-parleur de masse de membrane $M_1$ (comprenant la masse de rayonnement), de raideur $k_1$, de coefficient d'amortissement de vitesse $h_1$, de surface de membrane $\Sigma _1$ , de facteur de force $Bl$ et de résistance ohmique $R$ . L'évent est supposé contenir une masse $M_2$ d'air (comprenant la masse de rayonnement) qui se déplace en bloc dans l'évent, dont la surface sera désignée par $\Sigma _2$. Dans un premier temps nous négligerons toute force de frottement fluide pour l'évent et nous vérifierons plus tard que cette hypothèse est suffisante pour des calculs approchés. Le déplacement de la membrane du haut-parleur sera désigné par $x_1$ dirigé vers l'extérieur de l'enceinte et celui de la masse d'air dans l'évent par $x_2$ avec la même orientation.

En supposant que les déplacements de la membrane et de l'air dans l'évent soient de faible amplitude on pourra considérer que la variation de volume de l'enceinte est un infiniment petit $\Delta V=\Sigma _1.x_1+\Sigma _2.x_2$. La transformation subie par l'air dans l'enceinte est toujours une transformation adiabatique réversible régie par l'équation de LAPLACE , en différentiant cette équation il vient:

$$\Delta P=-\frac{\gamma .P_0}{V}.(\Sigma _1.x_1+\Sigma _2.x_2)$$

cela nous permets de calculer les forces de pression exercées sur la membrane et la masse d'air dans l'évent. L'équation fondamentale de la dynamique appliquée à la membrane du haut-parleur s'écrit:

$$M_1.\frac{d^2x_1}{dt^2}=-k_1.x_1-h_1.\frac{dx_1}{dt}+Bl.i-\frac{\gamma .P_0.\Sigma _1} {V} .(\Sigma _1.x_1+\Sigma _2.x_2)$$

La même appliquée à la masse de l'évent donne:

$$M_2.\frac{d^2x_2}{dt^2}=-\frac{\gamma .P_0.\Sigma _2}{V}.(\Sigma _1.x_1+\Sigma _2.x_2)$$

Enfin l'équation électrique s'écrit, en négligeant l'inductance propre de la bobine mobile:

$$u=R.i+Bl.\frac{dx_1}{dt}$$

On pose, comme d'habitude:

$$\frac{\gamma .P_0.\Sigma _1^2}{V}=k'_1 \frac{\gamma .P_0.\Sigma _2^2}{V}=k'_2 \ H_1=h_1+\frac{B^2l^2}{R}$$

puis

$$k'_1=A.k_1 \omega _0^2=\frac{k_1}{M_1} \omega _2^2=\frac{k'_2}{M_2}=C.\omega _0^2$$

enfin on rappelle que:

$$A=\frac{V_{AS}}{V} 2.S_T=\frac{H_1}{M_1.\omega _0}$$

On tire l'intensité du courant de l'équation électrique et on reporte sa valeur dans la première équation de la dynamique. Il vient finalement:

$$M_1\frac{d^2x_1}{dt^2}=-k_1.x_1-h_1.\frac{dx_1}{dt}+\frac{Bl.... ...} .\frac{dx_1} {dt}-k_1.x_1-\frac{k_1}{\Sigma _1}.\Sigma _2.x_2$$

et

$$M_2.\frac{d^2x_2}{dt^2}=-k'_2.x_2-\frac{k'_2}{\Sigma _2}.\Sigma _1.x_1$$

Avec les notations ci-dessus ces relations deviennent:

$$\frac{d^2x_1}{dt^2}+2.S_T.\omega _0.\frac{dx_1}{dt}+\omega _0... ...\omega _0^2. \frac{\Sigma _2.x_2}{\Sigma _1}+\frac{Bl.u}{R.M_1}$$

$$\frac{d^2x_2}{dt^2}+C.\omega _0^2.x_2=-C.\omega _0^2.\frac{\Sigma _1.x_1}{\Sigma_2}$$