Réalisation du filtre actif passe-bas BUTTERWORTH d'ordre deux.

Pour éviter l'emploi de bobines chères et possédant une résistance série, nous utiliserons des amplificateurs opérationnels avec des résistances et des condensateurs de bonne qualité ( les électrochimiques sont à réserver pour les alimentations ). Nous commencerons par le filtre passe-bas dont la fonction de transfert est la plus simple à écrire.

Entre la sortie et l'entrée "-" nous avons un diviseur potentiométrique à résistances tel que:

$$\frac{U_-}{U_S}=\frac{R_1}{(K-1)R_1+R_1}=\frac{1}{K} soit U_-=\frac{_S}{K}$$

Si on suppose l'ampli op idéal alors $U_+=U_-=U_S/K$ et aucun courant ne circule dans les entrées "+" et "-".
De $U$ vers $U_+$ nous avons un diviseur potentiométrique à impédances analogue à un filtre passe-bas du premier ordre dont la fonction de transfert est:

$$\frac{U_+}{U}=\frac{1}{1+j.R.C.\omega}$$

Au point où la tension vaut $U$ nous avons la jonction de trois branches et le courant total algébrique est nul:

$$\frac{U_E-U}{R}+\frac{U_+-U}{R}+[U_S-U)j.C.\omega=0$$

$$U_E+U_+-2.U+(U_S-U)j.R.C.\omega=0$$

En tenant compte de la valeur de $U$ issue de l'équation précédente

$$U=(1+j.R.C.\omega).U_+=(1+j.R.C.\omega).\frac{U_S}{K}$$

ce qui donne:

$$U_E+\frac{U_S}{K}-\frac{2.U_S}{K}.(1+jR.C.\omega)+j.R.C.\omega .U_S-j.R.C.\omega.(1+j.R.C.\omega).\frac{U_S}{K}=0$$

$$U_S.[j.R.C.\omega(1+j.R.C.\omega).\frac{1}{K}+\frac{2}{K}(1+j.R.C.\omega)-j.R.C.\omega-\frac{1}{K}]=U_E$$

$$U_S.[\frac{1}{K}+j.R.C.\omega(\frac{3}{K}-1)+\frac{(j.R.C.\omega)^2}{K}]=U_E$$

d'où on tire la fonction de transfert

$$\frac{U_S}{U_E}=\frac{K}{(j.R.C.\omega)^2+(3-K).j.R.C.\omega+1}$$

et en posant $R.C.\omega _2=1$ et $\nu=\omega /\omega _2$ on a la fonction de transfert en fréquence réduite:

$$\frac{U_S}{U_E}=\frac{K}{(j.\nu)^2+(3-K).j.\nu+1}$$

Pour avoir un filtre BUTTERWORTH d'ordre deux il faut que le terme facteur de $j.\nu$ soit égal à $\sqrt{2}$ soit $3-K=\sqrt{2}$ ou $K=3-1,414=1,586$.
Avec les amplificateurs opérationnels de type JFET tels que les TL071-72 on a l'habitude de prendre une résistance de charge de l'ordre de $3,3 kilohms$ . Le calcul exact donne $R_1=2,08 kilohms$ et $(K-1)R_1=1,22 kilohms$. On pourra prendre des résistances à $1\%$ si on est puriste et riche, sinon on se contentera de résistances à $5\%$, l'une de $2,2 kilohms$ et l'autre de $1,2 kilohms$.
La fréquence de coupure à $-3 dB$ est donnée par $f_c=\frac{1}{2.\pi.R.C}$ où $R$ est compris entre $10$ et $100 kilohms$. Ce filtre sera celui qui alimente de grave-médium. On décide que sa fréquence de coupure sera réglable sur une octave car cela ne comporte aucun risque pour un grave-médium de le couper trop haut. En revanche descendre trop bas en fréquence pour un tweeter risque de l'endommager.
La résistance $R$ sera faite en deux parties en série: l'une, fixe, de $10 kilohms$, et l'autre variable de $0$ à $10 kilohms$. On aura donc besoin d'un potentiomètre double de $2*10 kilohms$. La valeur maximale de $R$ sera donc de $20 kilohms$. Si on prend une fréquence basse de $3000 Hertz$, on aura une fréquence haute de $6000 Hertz$. La valeur de la capacité du condensateur sera donc $C=2,65 nF$, on prendra la valeur normalisée $2,7 nF$.

Remarque importante: Les condensateurs du commerce de bonne qualité ont le plus souvent leur valeur donnée à cinq pour cent près, de sorte que les fréquences de coupure auront cette précision. Mais on trouve aussi des valeurs à vingt pour cent près et cela ne convient pas. L'auteur qui avait lu trop rapidement un catalogue s'est ainsi fait avoir. Il avait commandé des condensateurs de $100 nF$ et, à la réception ils faisaient de $82$ à $86 nF$, ce qui était trop faible pour le filtre envisagé. Ils les a donc retourné au fournisseur pour les faire changer et on lui a répondu que comme ils étaient à vingt pour cent ils étaient dans la fourchette de valeurs correcte. Avant d'acheter des condensateurs pour filtres actifs il faut bien vérifier la tolérance sur la valeur. Pour des condensateurs de l'ordre de $100 nF$ il faut compter environ un euros à cinq pour cent, et on en trouve à deux euros à un pour cent en cherchant bien. Dans ce dernier cas il faut aussi prendre des résistances à un pour cent, mais cela seulement si on en a les moyens. L'oreille humaine n'entend pas la différence.