Fonction de transfert de deux filtres BUTTERWORTH d'ordre deux

Nous allons voir ici comment assurer par des filtres actifs la séparation des signaux vers les amplificateurs alimentant les haut-parleurs spécialisés. Nous aurons besoin d'un filtre passe-bas pour le grave-médium et d'un passe-haut pour le tweeter. Nous supposons que l'on a réalisé l'égalisation des rendements dans la bande passante de chaque haut-parleur à l'aide d'un potentiomètre, ce que l'on peut difficilement faire avec un filtre passif. On pourra ainsi choisir des haut-parleurs avec des rendements différents mais dont les caractéristiques sont excellentes pour l'application désirée.
Nous admettrons, pour simplifier, que les filtres envisagés ont un gain unité dans leur bande passante. Le filtre BUTTERWORTH passe-haut d'ordre deux a pour fonction de transfert

$$\frac{(j.\frac{f}{f_1})^2}{(j.\frac{f}{f_1})^2+j.\sqrt{2}\frac{f}{f_1}+1}$$

où $f_1$ est la fréquence de coupure à $-3 dB$ du filtre.
Le filtre BUTTERWORTH passe-bas d'ordre deux a pour fonction de transfert

$$\frac{1}{(j.\frac{f}{f_2})^2+j.\sqrt{2}\frac{f}{f_2}+1}$$

On ajoute les deux fonctions de transfert pour avoir la fonction de transfert totale des deux haut-parleurs et rechercher comment faire pour avoir une courbe aussi plate que possible. Les deux courbes de réponse se coupent pour une fréquence de croisement que nous appellerons $f_0$ , en échelle logarithmique ces courbes sont symétriques par rapport à cette fréquence et on pourra poser $f_1=f_0/\alpha$ et $f_2=\alpha .f_0$ et nous choisirons $\alpha >1$. De plus nous utiliserons les fréquences normalisées par $f_0$ et écrirons $\nu =f/f_0$. Je demande au lecteur toute son indulgence mais il nous faut écrire et faire les calculs pour en tirer une conclusion valable. Faisons la somme des deux fonctions de transfert en fréquence réduite:

$$\frac{-\alpha^2\nu^2}{1-\alpha^2\nu^2+j\sqrt{2}\alpha \nu}+\frac{1}{1-\frac{\nu^2}{\alpha^2}+j\sqrt{2}\frac{\nu}{\alpha}}$$

$$\frac{-\alpha^2\nu^2.(1-\frac{\nu^2}{\alpha^2}+j\sqrt{2}\frac... ...pha\nu)(1-\frac{\nu^2}{\alpha^2}+j\sqrt{2}\frac{\nu} {\alpha})}$$

$$\frac{1-2\alpha^2\nu^2+\nu^4+j\sqrt{2}\alpha\nu(1-\nu^2)}{(1-... ...\nu^2}{\alpha^2})+j\sqrt{2}\frac{\nu}{\alpha}(1-\alpha^2\nu^2)}$$

ce qui donne enfin:

$$\frac{1-2\alpha^2\nu^2+\nu^4+j\sqrt{2}\alpha\nu(1-\nu^2)}{1+\... ...}{\alpha^2}+2) +j\sqrt{2}\nu(\alpha+\frac{1}{\alpha})(1-\nu^2)}$$

On constate qu'à la fréquence de croisement $\nu=1$ les termes imaginaires s'annulent au numérateur et au dénominateur, il reste:

$$\frac{2-2\alpha^2}{-(\alpha^2+\frac{1}{\alpha^2})}=\frac{2\alpha^2.(\alpha^2-1)}{1+\alpha^4}$$

On remarque que si $\alpha=1$ la fonction de transfert s'annule pour la fréquence de croisement le rayonnement de l'enceinte est alors nul. C'est ce qui se passe quand les fréquences de coupure des deux filtres sont égales. Il faut donc éviter ce cas. On peut relier ce cas à celui des filtres passifs où l'on conseille de permuter les fils du tweeter pour rétablir le bon rayonnement, mais cela n'est valable que pour la fréquence de coupure et au delà on se retrouve avec un tweeter rayonnant à l'envers.
De plus si $\alpha<1$ la fonction de transfert est négative ce qui implique un déphasage de $180^\circ$. Le seul cas valable est $\alpha >1$ que nous avons choisi dès le départ. On peut chercher la valeur de $\alpha$ qui donne la valeur unité à la fonction de transfert pour avoir une courbe assez plate. On a

$$2.\alpha^2.(\alpha^2-1)=\alpha^4+1$$

$$\alpha^4-2.\alpha^2-1=0$$

équation bicarrée avec une racine positive:

$$\alpha^2=1+\sqrt{2}==2,414$$

Ce qui donne une valeur $\alpha=1,55$. On peut penser qu'il y aura une petite ondulation positive de part et d'autre de la fréquence de croisement. Le calcul de cette ondulation est assez délicat et nous avons fait assez de calculs pour ce cas. On peut se poser la question de la valeur de $\alpha$ si on prend une valeur de la fonction de transfert à la fréquence de croisement légèrement inférieure à l'unité $\beta$.

$$2.\alpha^2.(\alpha^2-1)=\beta.(1+\alpha^4)$$

$$(2-\beta).\alpha^4-2.\alpha^2 -\beta=0$$

la solution positive est

$$\alpha^2=\frac{1+\sqrt{1+\beta.(2-\beta)}}{2-\beta}$$

Le calcul avec $\beta=0,9$ donne $\alpha=1,35$ et un gain de $-0,92 dB$. On voit que la valeur de $\alpha$ est assez pointue. Comme les hypothèses faites pour le calcul ne sont pas nécessairement satisfaites il vaut mieux prévoir la possibilité de faire varier $\alpha$ à l'aide d'un potentiomètre double sur l'un des filtres.