Enceinte close en série avec un condensateur de capacité C

Le calcul classique consiste à dire que l'on a un filtre $R-C$ du premier ordre dont la pulsation de coupure est donnée par $R.C.\omega _0=1$, or cela est totalement faux car l'ensemble du condensateur et du haut-parleur dans l'enceinte constitue un filtre passe-haut à $18 dB/octave$. Ce résultat n'a jamais figuré dans aucun papier sur le sujet, chacun se contentant de reproduire l'erreur du voisin. Et pourtant il suffit de tracer la courbe de réponse d'un tweeter en série avec un condensateur pour trouver la bonne courbe.

Nous allons nous placer dans l'hypothèse des basses fréquences où l'on peut négliger l'influence de l'inductance propre de la bobine mobile devant la résistance et l'impédance du condensateur. Nous supposons que le haut-parleur est placé dans une enceinte close, cela peut être un medium clos ou un tweeter. Les notations utilisées sont celles que l'on a déjà vues. Nous passons tout de suite en amplitude complexe et nous écrivons l'équation de la dynamique sous la forme:

$$[(j\omega )^2.M+h.j\omega +k.(1+A)].X=Bl.I$$

puis l'équation électrique

$$U=(R+\frac{1}{j.C\omega }).I+Bl.j\omega .X$$

On tire $I$ de la première équation et on reporte dans la seconde, il vient

$$U=(R+\frac{1}{j.C\omega }).[(j\omega )^2.M+h.j\omega +k.(1+A)].\frac{X}{Bl}+Bl.j\omega .X$$

soit en multipliant des deux côtés par $\frac{Bl}{R.M}$

$$\frac{U.Bl}{R.M}=(1+\frac{1}{j.R.C\omega }).[(j\omega )^2+\fr... ...M}.j\omega +\frac{k}{M}.(1+A)] .X+\frac{B^2l^2}{R.M}.j\omega .X$$

et, en mettant $(j\omega)^2.X$ en facteur,

$$\frac{U.Bl}{R.M}=(1+\frac{1}{j.R.C\omega }).(1+\frac{h+\frac{... ...{j\omega }+\frac{k}{M}.\frac{1+A}{(j\omega )^2}) (j\omega )^2.X$$

Nous poserons, comme d'habitude

$$h+\frac{B^2l^2}{R}=H \frac{H}{M}=2.S_T.\omega _0 \frac{k}{M}=\omega _0^2 \omega _2 =\frac{1}{R.C}$$

Nous calculons maintenant le flux d'accélération en multipliant par $\Sigma$, surface de la membrane

$$\Sigma .(j\omega )^2.X=U.\frac{\Sigma .Bl}{R.M}.\frac{1}{[1+\... ...frac{\omega_0}{j\omega }+(1+A).(\frac{\omega _0}{j\omega })^2]}$$

Nous retrouvons l'efficacité intrinsèque du haut-parleur:

$$E=\frac{\Sigma.Bl}{R.M}$$

Dans les termes dépendant de la pulsation l'un est la fonction de transfert (filtre passe-haut) du haut-parleur et l'autre est la fonction de transfert (filtre passe-haut du premier ordre) du circuit série $RC$. Si $\omega_2$ était très grand devant $\omega_0$ le filtre du premier ordre serait prépondérant devant le filtre du second ordre et on retrouverait le résultat classique et faux, car il serait bien inutile d'acheter très cher un haut-parleur pour n'utiliser qu'une toute petite partie de sa courbe de réponse, d'autant que, dans ce cas on ne pourrait plus négliger l'influence de l'inductance propre de la bobine. Le rapport de $\omega_2$ à $\omega_0$ ne peut pas dépasser une à deux octaves et les courbes sont assez voisines pour que l'asymptote résultante soit à $18 dB/octave$, ce qui est largement suffisant en pratique.

Le calcul précédent s'applique bien au cas du filtrage des tweeters, il suffit de mettre un condensateur en série avec le tweeter pour obtenir un bon filtrage. Avec un haut-parleur d'impédance nominale $8 \Omega$ une valeur comprise entre $1$ et $2,2 \mu F$ convient parfaitement. Il s'agit, bien évidemment, de tweeters à bobine mobile, pour les tweeters piézoélectriques le calcul est différent et nous en parlerons plus loin.