Influence de l'inductance propre de la bobine mobile

Nous avons jusqu'à maintenant négligé le terme en $L\omega$ devant le terme en $R$ en nous plaçant autour de la fréquence de résonance de l'impédance. Or le haut-parleur fonctionne surtout pour des fréquences supérieures, il est alors en contrôle de masse et l'accélération de l'équipage mobile est proportionnelle à la tension appliquée dans l'hypothèse précédente. La fréquence étant plus élevée on ne pourra plus négliger l'influence de l'inductance propre de la bobine mobile, en revanche on pourra négliger l'influence de la raideur de la suspension.

Passons tout de suite en amplitude complexe pour écrire l'équation du mouvement:

$$M.(j\omega)^2.X+h.j\omega.X+k.(1+A)X=Bl.I$$

L'équation électrique s'écrit alors:

$$U=R.I+jL\omega .I+Bl.j\omega .X$$

Nous sommes à des fréquences suffisamment élevées pour pouvoir négliger les termes constants et en $\omega$ devant les termes en $\omega ^2$, l'équation du mouvement se réduit alors à:

$$M.(j\omega )^2.X=Bl.I$$

L'équation électrique peut s'écrire:

$$I=\frac{U-Bl.j\omega .X}{R+j.L\omega }$$

ce qui donne

$$M.(j\omega )^2.X=\frac{Bl.U}{R+j.L\omega }-\frac{B^2l^2.j\omega .X}{R+j.L\omega}$$

Le dernier terme est négligeable devant les deux autres, il reste finalement comme flux d'accélération

$$\Sigma .(j\omega )^2.X=\frac{\Sigma.Bl.U}{R.M}.\frac{1}{1+j\frac{L}{R}.\omega }$$

On reconnait l'efficacité intrinsèque

$$E=\frac{\Sigma.Bl}{R.M}$$

et la fonction de transfert d'un filtre passe-bas du premier ordre de pulsation de coupure $\omega _1=R/L$. Au dela de cette pulsation on a une décroissance de la courbe de réponse à $-6 dB/octave$.

Prenons un exemple numérique: l'inductance propre de la bobine est souvent de l'ordre de $0,5 mH$, prenons pour résistance $8 \Omega$, la fréquence de coupure est de l'ordre de $2500 Herz$. Or les courbes de réponse peuvent monter au dessus de cette valeur et le modèle choisi n'est plus valable à ces fréquences. Supposer le piston rigide n'est valable que jusqu'à quelques centaines de $Herz$ , par la suite la membrane se déforme et donne des modes de vibration qui permettent d'étendre la courbe de réponse. C'est ce qui fait que le son de différents haut-parleurs n'est pas le même ainsi que le son de différents violons. Le calcul que nous venons de faire nous montre les limites du modèle choisi.