Etude de la non-linéarité de la suspension de la membrane

Nous venons de voir que si l'élongation de la membrane devenait trop importante il apparaissait une non-linéarité due au fait que la bobine ne se trouvait plus dans un champ uniforme. On peut observer une non-linéarité plus subtile liée à la variation de la fréquence de résonance de l'impédance. Précisons le phénomène: à l'aide du générateur de courant constant injectons un courant dans la bobine mobile du haut-parleur et étudions la figure de LISSAJOUS représentant sur l'écran de l'oscilloscope la tension en fonction de l'intensité comme pour la mesure des caractéristiques d'un haut-parleur. Déterminons pour un courant de valeur efficace donnée la valeur de la fréquence pour laquelle on obtient sur l'écran un segment de droite: c'est la fréquence de résonance de l'impédance.

Faisons varier la valeur de l'intensité efficace et recommençons l'expérience: on obtient un nouveau segment de droite pour une valeur légèrement différente de la fréquence. Alors que la relation entre la tension aux bornes de la bobine et le courant qui la traverse est parfaitement linéaire expérimentalement, la fréquence de résonance a légèrement varié. Cela implique une non-linéarité dans les équations. Mais si on ajoutait, par exemple un terme en $x^2$ du type $-k.x-\epsilon .x^2$ dans l'équation différentielle du mouvement, on introduirait dans le résultat du régime sinusoïdal permanent des termes de fréquences double, triple etc... qui détruiraient le segment de droite. L'expérience se fait, néanmoins, en régime sinusoïdal permanent et on peut faire l'hypothèse que le déplacement imposé de la membrane provoque dans la suspension une élévation de température due à un phénomène d'hystérésis non-linéaire et, par là même, une modification de la valeur de la raideur. On peut admettre que la valeur de la raideur, pour un courant sinusoïdal de valeur maximale $I_{max}$ donnée est du type $k(I_{max})$ ($k$ fonction de $I_{max}$). Ce qui fait que le carré de la pulsation de résonance (ainsi que le carré de la fréquence de résonance) dépend de $I_{max}$ ( $\omega_0^2=k/M$). Comme on est loin du domaine relativiste on peut supposer que la masse de la membrane reste constante.

Pour fixer les idées réalisons une expérience avec un générateur de courant qui permet d'injecter jusqu'à $40 mA$ en faisant varier l'intensité de $5$ en $5 mA$. Le haut-parleur utilisé est un modèle de $21 cm$ de bonne qualité. On mesure la tension efficace $U_1$ au bornes de la résistance de $10 \Omega$, la tension efficace $U_2$ aux bornes du haut-parleur et on règle la fréquence de façon à observer un segment de droite sur l'écran de l'oscilloscope. Il est plus facile de mesurer avec précision la période de cette tension car on tombe dans les millisecondes et le fréquencemètre, utilisé en périodemètre, donne une précision de $5$ chiffres largement suffisante. A partir de la période on calcule le carré de la fréquence et le tableau suivant donne les résultats obtenus.

$U_1$	0,05	0,1	0,15	0,2	0,25	0,3	0,35	0,4
$U_2$	0,153	0,312	0,471	0,631	0,792	0,951	1,11	1,258
$T ms$	21,63	22,22	22,5	22,63	22,63	22,63	22,63	22,56
$f^2$	2137	2026	1976	1952	1952	1952	1952	1966
$\mid Z\mid$	30,6	31,2	31,4	31,5	31,7	31,7	31,7	31,5

On constate que la fréquence diminue d'abord, puis se stabilise à une valeur à peu près fixe, aux erreurs de mesure près, puis tend à augmenter de nouveau et, là, on est limité par les performances du générateur de courant. On constate donc que la loi ( si loi il y a) est loin d'être simple et ne permet pas une représentation mathématique facile.



L'incertitude relative sur la valeur de k est de l'ordre de $(2137-1952)/1952$ soit $9,5 \%$ ce qui doit nous inciter à une grande prudence quant à la linéarité du modèle utilisé dans ce livre.

Le module de l'impédance varie lui aussi mais dans une proportion moindre, or il ne contient pas de terme en $k$; vue la faible valeur du courant utilisé on est dans le domaine de linéarité du produit $Bl$, la bobine ne s'échauffe pratiquement pas et sa résistance est constante: le seul terme susceptible de varier est le terme en $h$.



On peut penser que la suspension ,n'étant pas un ressort parfait, produit un effet viscoélastique amenant une force de frottement fluide qui s'ajoute aux autres forces du même type et qui varie avec le déplacement.

Il est possible que lors du déplacement de la membrane la température de la suspension varie et modifie les propriétés viscoélastiques des matériaux la constituant. Une étude statique du déplacement de la membrane en fonction de la force appliquée a en effet montré un phénomène d'hystérésis très net: le déplacement n'est pas le même quand la force augmente et quand elle diminue.

On peut supposer qu'en faisant des mesures à valeur efficace du courant constante la valeur de $k$ ne varie pas trop, mais on n'en est pas sûr. Cela peut expliquer en particulier les écarts au modèle dans le calcul du cercle de KENNELY. Pour diminuer les risques d'erreur dans les mesures des paramètres du haut-parleur, il serait bon de rechercher la valeur du courant correspondant à la partie plate de la courbe et de faire la mesure pour cette valeur. Ainsi on espère minimiser les erreurs. Une étude plus fine de ce phénomène peut justifier un article scientifique sur le sujet.