Etude de l'élongation de l'équipage mobile

On vient de voir qu'il existait deux configurations de bobine mobile : la bobine courte qui est toute entière dans l'entrefer et qui est surtout utilisée pour les haut-parleurs de médium et d'aigu, et la bobine longue dont l'enroulement déborde assez de l'entrefer pour assurer une élongation importante à l'équipage mobile (ensemble de la bobine mobile et de la membrane). Si la bobine mobile sort de l'entrefer on ne pourra plus assurer la linéarité du modèle: c'est la première des causes de non-linéarité de fonctionnement du haut-parleur. Supposons que la bobine mobile ait une longueur $L$ (attention ce n'est pas la longueur de fil que nous avons désigné par $l$) et que l'épaisseur de l'entrefer soit $e$, l'élongation maximale d'un côté sera $X_{max}=(L-e)/2$. C'est la limite de fonctionnement linéaire du haut-parleur: au-delà le haut-parleur peut "talonner".

Reprenons une des formules démontrées au paragraphe 5.1

$$(j\omega)^2.X=\frac{Bl.U}{R.M}.\frac{(j\nu)^2}{(j\nu)^2+2.S_T.j\nu+1+A}$$

Divisons de deux côtés par ${\omega}_0^2=k/M$ et simplifions par $(j\nu)^2$ il vient

$$X=\frac{Bl.U}{k.R.(1+A)}.\frac{1 }{(j\nu ')^2+2.S.j\nu '+1}$$

en gardant les notations utilisées dans ce même paragraphe. En repassant aux valeurs réelles il vient

$$X_{max}=\frac{Bl.U_{eff}\sqrt{2}}{k.R.(1+A)}.\frac{1}{\sqrt{(1-\nu '^2)^2+4.S^2.\nu '^2}}$$

La puissance nominale que pourra supporter le haut-parleur vaut $P_{max}=\frac{U_{eff}^2}{R}$ en confondant l'impédance nominale avec la résistance de la bobine, ce qui entraine une erreur faible. De toutes les façons le calcul que nous faisons n'est qu'approché.On trouve alors

$$P_{max}=\frac{k^2.R.(1+A)^2.X_{max}^2}{2.B^2l^2}[(1-\nu '^2)^2+4.S^2.\nu '^2]$$

Il est facile de voir que pour $S>0,7$ le terme entre crochets n'a d'autre minimum que $1$ et que la valeur minimale que peut prendre la puissance appliquée au haut-parleur est alors

$$P_{max}=\frac{k^2.R.(1+A)^2.X_{max}^2}{2.B^2l^2}$$

Cette puissance augmente avec la fréquence et un autre phénomène physique va intervenir pour limiter la puissance appliquée: c'est la limite de la puissance thermique que peut dissiper la bobine mobile. C'est la puissance maximale indiquée dans les caractéristiques des constructeurs.

Prenons le cas de valeurs courantes pour un haut-parleur et faisons l'application numérique correspondante: $k=1000 X_{max}=5.10^{-3}\:m A=1 Bl=6\:T.m R=8\:\Omega$. On trouve $P_{max}=11\:W$.Ce qui est inférieur à la puissance thermique limite qui pourrait être de l'ordre de $80\:W$.On constate malgré tout qu'il y a pratiquement un ordre de grandeur entre ces deux chiffres et qu'il faut éviter de trop forcer sur le bouton de grave si on ne veut pas déformer le son.

Les calculs précédents nous ont montré au passage que pour une tension efficace de valeur constante et de fréquence variable l'amplitude maximale de l'élongation se comportait comme le résultat d'un filtre passe-bas et qu'au-delà de la fréquence de résonance l'amplitude devenait très faible. Si on fait fonctionner le haut-parleur seulement au dessus de sa fréquence de résonance, ce qui est le cas pour les haut-parleurs de médium ou d'aigu,l'élongation sera très faible et on pourra utiliser une bobine courte.

Pour des valeurs de la fréquence inférieures à la fréquence de résonance de l'enceinte on voit que l'élongation de l'équipage mobile est, en gros, proportionnelle à la tension appliquée: on dit que l'on a un contrôle par la raideur de l'enceinte. Pour des valeurs supérieures à la fréquence de résonance, c'est l'accélération de l'équipage mobile qui est proportionnelle à la tension appliquée: on dit que l'on a un contrôle par la masse de l'équipage mobile (la force est proportionnelle à l'accélération).