Les fonctions numériques

Les plus simples d'entre elles sont les fonctions d'une variable définies sur l'ensemble des réels (ou sur une partie de cet ensemble appelé ensemble de définition) et qui donnent comme résultat un réel. Elles seront largement suffisantes pour la majeure partie de cet ouvrage et méritent qu'on s'y arrête un peu. Nous ne rentrerons pas dans le détail des techniques mathématiques et nous contenterons de rafraîchir la mémoire du lecteur.

La notion de continuité est importante et les fonctions continues sont de bonnes fonctions pour le physicien qui en fait grand usage. En gros on peut dire qu'une fonction est continue quand une petite variation de la valeur de la variable provoque une petite variation de la valeur de la fonction et non pas un saut brusque d'une valeur à une autre.

L'opération essentielle que l'on peut faire sur les fonctions continues d'une variable (et sous certaines conditions bien sûr) est la dérivation qui précise le sens de variation de la fonction. Soit $x$ la valeur de la variable et $f(x)$ la valeur correspondante de la fonction, on appelle dérivée de la fonction au point correspondant la limite (si elle existe) de $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ quand $h\rightarrow 0$ où $h$ est un réel choisi aussi petit que l'on veut. Si la fonction de départ possède une dérivée en presque tous ses points on définit alors une fonction dérivée qui est l'application qui à tout nombre de l'ensemble de départ fait correspondre la valeur de la dérivée dans l'ensemble d'arrivée. L'ensemble des fonctions qui possèdent une dérivée est l'ensembles des fonctions dérivables. L'opération "dérivée" n'est qu'un cas particulier d'un type d'application très important. Soit un ensemble de fonctions (ensemble de départ) et un autre ensemble de fonctions (ensemble d'arrivée), on appelle opérateur toute application qui à une fonction de l'ensemble de départ fait correspondre une fonction de l'ensemble d'arrivée. La dérivation d'une fonction d'une variable est l'exemple le plus simple d'opérateur différentiel.

Le Physicien fait aussi un grand usage de fonctions de plusieurs variables, en particulier de trois variables pour représenter les phénomènes dans l'espace physique à trois dimensions. Ces fonctions peuvent être scalaires, c'est à dire donner un seul réel pour résultat à partir d'un triplet, ou vectorielles et donner un triplet pour un triplet. On définit alors les dérivées partielles par rapport à une variable (les autres étant fixées) et même des opérateurs différentiels scalaires et vectoriels plus compliqués : gradient, divergence, rotationnel,etc...

Mais revenons à nos fonctions d'une variable: on peut leur faire subir d'autres misères et par exemple les "intégrer". Il existe deux types principaux d'intégrales: l'intégrale de RIEMANN que l'on étudie en Terminales et l'intégrale de LEBESGUE du niveau deuxième cycle des Universités, la seconde étant plus générale que la première (on s'en serait douté). Quelle que soit la définition adoptée l'intégrale d'une fonction sur un intervalle de variation de la variable donné fournit, sous certaines conditions, comme résultat un réel. Cette application d'un ensemble de fonctions sur un ensemble de nombres s'appelle une "fonctionnelle", cette notion est moins connue que celle de fonction numérique, elle a pourtant un grand intérêt dans la représentation des phénomènes physiques comme nous le verrons plus loin.

Dans un premier temps pour exprimer les "lois" de la Physique on attache à chaque grandeur une fonction qui la représente, et les relations entre les grandeurs sont les relations entre les fonctions et leurs dérivées. On voit tout de suite la limitation introduite par la théorie des fonctions: toutes les fonctions ne sont pas dérivables et il y a des cas où cela ne "marche" pas. Fort heureusement les mathématiciens ont plus d'un tour dans leur sac et ils ont offert aux physiciens il y a quelques décennies un nouvel outil plus performant mais aussi plus compliqué qui lève la plupart des difficultés de la théorie des fonctions : la théorie des distributions. Pour notre part nous éviterons d'y faire appel pour conserver à ce livre une simplicité qui, nous l'espérons, plaira au lecteur. Nous nous contenterons d'utiliser de bonnes fonctions bien dérivables et bien intégrables pour représenter les phénomènes physiques.