Optimisation de l'efficacité intrinsèque.

Nous nous proposons de rechercher le meilleur couplage entre la bobine mobile et la membrane pour obtenir l'efficacité intrinsèque maximale. Pour cela nous supposons connue la masse $M_m$ de la membrane, sa surface $\Sigma$ et le champ magnétique dans l'entrefer $B$ de l'ordre du $Tesla$. Nous englobons bien sûr dans la masse de la membrane la masse de rayonnement et celle du support de la bobine mobile, il ne nous reste donc comme masse de la bobine mobile que celle du fil la constituant. Pour simplifier au maximum le problème nous supposerons que la totalité du fil plonge dans le champ magnétique, on dit que l'on a une bobine courte. Pour obtenir des amplitudes importantes cela suppose que l'entrefer soit plus profond que la hauteur de la bobine du double de l'amplitude désirée. Une autre caractéristique fixée du haut-parleur est son impédance nominale qui donne en gros une résistance de la bobine mobile de $80\%$ de celle-ci et fixe ainsi la valeur de $R$.

Désignons par $\rho$ la résistivité du métal constituant la bobine mobile, par $\mu$ sa masse volumique, par $l$ la longueur de fil et par $s$ la section de ce fil. La résistance a pour valeur $R=\rho .l/s$ et la masse $M_b=\mu .l.s$; l'efficacité intrinsèque s'écrit alors:

$$E=\frac{\Sigma .B.l}{R.M} = \frac{\Sigma .B.l}{R.(\mu .l.s +M_m)}$$

avec $s=\rho .l/R$, il vient

$$E=\frac{\Sigma .B.l}{R.(\mu .\rho l^2/R+M_m)}=\frac{\Sigma .B}{R.(\rho .\mu .l/R+M_m/l)}$$

La seule variable qui subsiste dans cette expression est $l$ et elle apparaît au dénominateur dans une somme de deux termes dont le produit est constant. On sait, d'après les rappels mathématiques, que cette somme est minimale lorsque les deux termes sont égaux et l'efficacité intrinsèque sera donc maximale lorsque cette condition sera réalisée, soit

$$\rho .\mu l/R=M_m/l$$

Plus simplement on peut écrire

$$M_b=M_m$$

On obtient ainsi un résultat simple à énoncer : l'efficacité intrinsèque est maximale quand la masse de la bobine mobile est égale à la masse de la membrane.

Désignons par $l_0$ la longueur optimale du fil de la bobine mobile, avec la relation précédente on a

$$l_0^2=R.M_m/\mu .\rho$$

et en reportant dans $E$

$$E_{max}=\frac{\Sigma .B}{2\sqrt{\mu .\rho .R.M_m}}$$

Si on se rappelle que le niveau en $dB$ dans la bande passante vaut $N\: dB=20.\log (4775.E.U_{eff})$, le terme $U_{eff} /\sqrt{R}$ représente la racine carrée de la puissance injectée dans le haut-parleur. On voit ainsi que le rendement sera d'autant plus grand que le produit $\mu .\rho$ du métal sera plus faible pour une puissance donnée. La masse de la membrane devra être aussi faible que possible compte tenu des impératifs de rigidité pour qu'elle vibre en piston. Les deux métaux utilisés pour la réalisation des bobines mobiles sont l'aluminium et le cuivre. Donnons les valeurs respectives de leur masse volumique, de leur résistivité et du produit des deux:

Aluminium	$\mu=2,70.10^3 kg/m^3$	$\rho=2,80.10^{-8}\Omega .m$	$\mu .\rho=7,56.10^{-5}$
Cuivre	$\mu=8,92.10^3 kg/m^3$	$\rho=1,73.10^{-8}\Omega .m$	$\mu .\rho=14,82.10^{-5}$

On voit immédiatement que le métal le plus favorable dans ce cas est l'aluminium suivi d'assez loin par le cuivre. Avec l'aluminium on gagne $3\: dB$ mais c'est un métal difficile à souder et le volume occupé par la bobine est plus important, ce qui augmente le volume des pièces polaires. Seuls un petit nombre de haut-parleurs "haut de gamme" utilisent des bobines mobiles en fil d'aluminium, les autres se contentent parfois de support de bobine en feuille d'aluminium qui dissipe mieux la chaleur.