Vérification du cercle de KENNELLY

Cette vérification peut constituer une manipulation d'électroacoustique pour tester la validité du modèle standard. pour cela il faut déterminer le module de l'impédance $\vert Z\vert$ et son $\cos\varphi$. On dispose grâce au montage réalisé de la mesure de trois tensions eficaces: l'une aux bornes de l'impédance, l'autre aux bornes de la résistance de référence et la dernière aux bornes de l'ensemble. On pourra donc faire un calcul analogue à celui de la méthode des trois voltmètres qui permettait de mesurer la puissance consommée dans une installation électrique. A cet effet on trace le diagramme de FRESNEL des trois tensions et on applique une relation simple dans le triangle obtenu.

On peut alors écrire:

$$U_T^2=U_R^2+U_Z^2+2.U_R.U_Z.\cos \varphi$$

d'où la valeur de $\cos\varphi$.

On reprend maintenant la figure du cercle de KENNELLY et on met en évidence le rayon $\rho$ du cercle en l'exprimant à l'aide de la même relation dans les triangles.

On connait $R$ la résistance en continu de la bobine mobile et on a déterminé le maximum du module de l'impédance $Z_m$ par la méthode de LISSAJOUS, le centre du cercle est alors à l'abscisse $(R+Z_m)/2$ et on peut écrire

$$\rho ^2=[\frac{R+Z_m}{2}]^2+\vert Z\vert^2-2.\frac{R+Z_m}{2}.\vert Z\vert.\cos \varphi$$

Posons, pour simplifier l'écriture, $(R+Z_m)/2=Z_0$, valeur que l'on peut calculer. On a aussi $\vert Z\vert=R_0.U_Z/U_R$, ce qui nous permet de calculer la valeur du carré du rayon.

$$\rho ^2=Z_0^2+R_0^2.\frac{U_Z^2}{U_R^2}-Z_0.R_0.\frac{U_T^2-U_R^2-U_Z^2}{U_R^2}$$

On peut faire environ une vingtaine de mesures de $5 Hertz$ en $5 Hertz$ en évitant la fréquence de résonance et utiliser un tableur pour les traiter. Avec le haut-parleur déjà utilisé on a obtenu le tableau suivant:

$f$	$U_R$	$U_Z$	$U_T$	$\rho$
20	0,100	0,084	0,177	16,55
25	0,100	0,096	0,186	16,53
30	0,100	0,111	0,198	16,46
35	0,100	0,134	0,217	16,43
40	0,100	0,159	0,240	16,34
45	0,100	0,195	0,276	16,22
50	0,100	0,243	0,326	16,15
55	0,100	0,308	0,397	16,38
60	0,100	0,356	0,451	16,47
70	0,100	0,390	0,488	17,06
75	0,100	0,347	0,439	17,17
80	0,100	0,304	0,391	17,19
85	0,100	0,265	0,348	17,25
90	0,100	0,232	0,313	17,04
95	0,100	0,206	0,285	17,09
100	0,100	0,185	0,264	16,94
105	0,100	0,171	0,250	16,87
110	0,100	0,154	0,234	16,89
115	0,100	0,145	0,225	16,84
120	0,100	0,136	0,218	16,82

On trouve une valeur moyenne du rayon de $16,74 Ohms$ qu'il faut comparer à $(R+Z_m)/2=16,88 Ohms$, l'écart constaté est faible. On remarque que les valeurs les plus éloignées de la bonne valeur se situent en dessous de la résonance dans le domaine où on est en contrôle de raideur, cela nous permet de penser que le modèle linéaire pour la suspension est assez approché et nous en aurons une confirmation plus loin. On trouve un écart-type de $0,34 Ohms$, ce qui donne une incertitude maximale de l'ordre de $6\%$, on voit bien ici les limites du modèle.