Modélisation de l'enceinte close

Nous avons vu que lorsqu'un haut-parleur, dont les dimensions sont faibles devant la longueur d'onde du son, était placé dans l'air, il brassait un peu de gaz dans son voisinage immédiat mais ne rayonnait pas à distance. On dit qu'il y a court-circuit acoustique entre l'avant et l'arrière de la membrane. Pour obtenir du rayonnement il faut donc supprimer ce court-circuit acoustique. La première idée consiste à placer le haut-parleur au centre d'un immense panneau plan (le baffle infini), mais cela pose quelques problèmes en particulier avec les surpressions statiques qui peuvent détruire le transducteur. On se tourne donc vers l'enceinte close qui enferme l'onde arrière dans un volume clos, dont les dimensions sont supposées faibles devant la longueur d'onde du son. La surpression acoustique y a alors la même valeur en tout point. Nous avons vu en 2.3 que le déplacement d'une membrane, jouant le rôle d'un piston ramenait une raideur supplémentaire $k'$ dont la valeur, dans le cas d'une transformation adiabatique était:

$$k'=\gamma.P_0.\Sigma^2/V_0$$

Par ailleurs le rayonnement, supposé isotrope, ramène sur la membrane une masse de rayonnement :

$$m_R=\frac{\mu_0}{2.\sqrt{\pi}}.\Sigma^{3/2}$$

cette masse devra être ajoutée à la masse de l'équipage mobile $m$ et on posera $M=m+m_R$ pour écrire l'équation fondamentale de la dynamique. L'application numérique de la formule au cas du haut-parleur de $21 cm$ prédédent donne une masse de rayonnement de $0,96 g$, ce qui est faible mais pas totalement négligeable. En revanche une petite erreur sur cette masse, due à l'imprécision du modèle, n'aura que de faibles conséquences sur la masse totale.

Ce même rayonnement provoque l'apparition d'une force de frottement fluide du type $f_f=-h'.dx/dt$ avec

$$h'=\frac{\mu_0.\Sigma^2.\omega^2}{4\pi c}$$

pour le haut-parleur précédent, à $100 Hertz$, on trouve $h'=0,04$. Quand on sait que pour un haut-parleur $h$ tourne autour de l'unité, l'influence du rayonnement sera faible, mais nous montre malgré tout les limites du modèle en supposant $h$ constant.

Dans les équations donnant le déplacement de la membrane il nous faudra remplacer $m$ par $M$ et $k$ par $k+k'$. Pour ne pas alourdir l'écriture nous poserons toujours $\omega_0^2=k/M$, en sachant que cette valeur est légèrement plus petite que la précédente. Par ailleurs nous poserons $k'=A.k$, où $A$ est, en quelque sorte, la raideur normalisée de l'enceinte. Il existe un volume de l'enceinte tel que $k'=k$, ce volume est désigné par $V_{AS}$ et il vaut:

$$V_{AS}=\gamma.P_0.\Sigma^2/k$$

ce volume constitue une caractéristique du haut-parleur et on peut écrire $A=V_{AS}/V_0$.

Nous poserons toujours $2.S_T=H.\omega_0/k=H/M.\omega_0$ avec la restriction vue plus haut. Nous conserverons $\nu=\omega/\omega_0$ et nous pourrons écrire l'accélération de la membrane, en amplitude complexe sous la forme:

$$(j\omega)^2.X=\frac{Bl.U}{R.M}.\frac{(j\nu)^2}{(j\nu)^2+2.S_T.j\nu+1+A}$$

Divisons haut et bas par $1+A$ et posons $\nu '=\nu/\sqrt{1+A}$ et $S=S_T/\sqrt{1+A}$, il vient

$$(j\omega)^2.X=\frac{Bl.U}{R.M}.\frac{(j\nu ')^2}{(j\nu ')^2+2.S.j\nu '+1}$$

cela va nous permettre de calculer le rayonnement de l'enceinte.