Modélisation du rayonnement d'une enceinte acoustique

Nous nous placerons ici uniquement dans le cas des basses fréquences, en gros inférieures à $200 Hertz$. Nous appellerons enceinte acoustique un volume clos rigide sur lequel on a fixé un ou plusieurs haut-parleurs et, éventuellement, un haut-parleur passif ou un évent de bass-reflex. A $100 Hertz$ la longueur d'onde du son dans l'air étant de l'ordre de $3,4 m$, on admettra que les dimensions de l'enceinte sont petites devant la longueur d'onde, ce qui est bien vérifié en pratique. On fera donc l'hypothèse que pour le rayonnement dans un espace infini et dans l'air l'enceinte rayonne comme une sphère pulsante, même si seulement une partie de sa surface est en vibration.

Une vérification expérimentale en a été faite en salle anéchoïque avec un haut-parleur de $13 cm$ monté dans une enceinte close de volume $16 litres$. Le microphone de mesure était placé à $1 m$ du centre du plan du haut-parleur successivement dans l'axe, à $90^\circ$ de l'axe et à $180^\circ$ de l'axe. Les courbes de réponse obtenues se superposent à une excellente précision jusqu'à $300 Hertz$, après, bien sûr, les choses se gâtent mais on s'en doutait un peu. On peut remarquer que l'on a l'habitude de faire les mesures à $1 m$ du haut-parleur, c'est une sorte de norme communément admise dans ce domaine.

Le rayonnement se traduit alors par l'existence d'une pression efficace à $1 m$ du haut-parleur proportionnelle au flux d'accélération efficace:

$$P_{eff}=\mu_0.\Sigma.\omega^2.X_{eff}/4\pi$$

Le domaine de variation des pressions acoustiques étant très étendu on utilise aussi une échelle logarithmique en décibels acoustiques $dBA$ en comparant la pression actuelle à une pression de référence correspondant au seuil d'audition de l'oreille humaine dans les meilleures conditions. Cela correspond à une pression efficace de $2.10^{-5} Pascal$, ce qui est très peu comparé à la pression atmosphérique normale ( $1,013.10^5 Pascals$). Le niveau en $dBA$ sera alors:

$$N dBA=20.\log(P_{eff}/2.10^{-5})$$

On peut admettre que les mesures se font à une température de l'ordre de $20^\circ C$, sous la pression atmosphérique normale ce qui donne une masse volumique de l'air de $1,2\ kg/m^3$. Tous calculs faits la formule devient

$$N dBA=20.\log(4775.\Sigma.\omega^2 X_{eff})$$

il y a lieu d'être très prudent dans l'application de cette formule: les grandeurs sont exprimées dans le système légal, $\Sigma$ en $m^2$ et $X_{eff}$ en $m$.

Donnons une application numérique de cette formule. Prenons le cas d'un haut-parleur de $21 cm$ de diamètre extérieur, le diamètre utile de la membrane est d'environ $16 cm$, ce qui donne une surface de $2.10^{-2} m^2$. Nous allons chercher quel doit être le déplacement pour obtenir $90 dBA$ à $1 m$ à une fréquence de $50\ Hertz$ soit une pulsation de $314$. On peut écrire, en passant à la fonction inverse du logarithme

$$10^{4,5}=4775.2.10^{-2}.314^2.X_{eff}$$

tous calculs faits on trouve $X_{eff}=3,36.10^{-3} m=3,36 mm$, et la valeur maximale de l'amplitude est $X_{max}=4,75 mm$. On constate que pour obtenir du niveau sonore aux basses fréquences il faut des déplacements conséquents de la membrane du haut-parleur. Dans le cas précédent pour une plaque de champ de $5 mm$ d'épaisseur il faut une bobine de $15 mm$ de longueur.

En fait, l'hypothèse du rayonnement en champ libre est une hypothèse d'école, choisie parce qu'elle donne les calculs les plus simples. En réalité les choses se passent moins bien: dans le cas d'une écoute domestique dans une pièce d'habitation les dimensions de la salle sont de l'ordre de grandeur de la longueur d'onde du son émis, on aura donc des phénomènes d'ondes stationnaires qui perturberont le modèle avec une tendance à augmenter le niveau des graves. Dans le cas d'une sonorisation de plein air, on ne pourra pas négliger l'influence du sol qui ne pourra être quantifiée de façon sûre. Le modèle de la sphère pulsante (ou monopole acoustique) ne pourra prétendre à représenter tout le rayonnement d'une enceinte acoustique, mais c'est le modèle le plus simple dont les résultats donnent une bonne approximation de ce qui se passe. C'est pour cette raison que nous continuerons à l'utiliser tout en connaissant ses limites.

Il est d'ailleurs illusoire de vouloir vérifier expérimentalement la validité de ce modèle car les conditions du champ libre sont pratiquement impossibles à réaliser au laboratoire pour des fréquences de $20 Hertz$ à $200 Hertz$. Les meilleures chambres anéchoïques du monde sont très peu fiables en dessous de $100 Hertz$. Pour absorber un son il faut une épaisseur de laine de verre supérieure à la longueur d'onde du son. Or à $100 Hertz$ la longueur d'onde est déjà de $3,40 m$ et à $20 Hertz$ de $17 m$, on voit les difficultés à surmonter pour réaliser une chambre anéchoïque qui absorbe réellement les sons produits dans cette gamme de fréquences.

Le meilleur moyen de faire des mesures efficaces consisterait à lancer un ballon captif au dessus d'une forêt aux alentours de $1000 m$ d'altitude ( en évitant un couloir aérien ) et de fixer sur le câble l'enceinte à étudier munie de ses instruments de mesure et d'une liaison radio avec le sol. Il faudra travailler par temps sec car l'air sec absorbe plus le son que l'air légèrement humide. Tout le monde a constaté qu'on entend mieux le train dans le lointain quand il va pleuvoir que quand il fait soleil. Tout cela est hors de portée de l'amateur moyen et nous devrons nous contenter du modèle ci-dessus pour avoir une idée du rayonnement d'une enceinte acoustique aux fréquences basses.