Approximation des basses fréquences

Jusqu'à ce point du calcul nous n'avons pas fait intervenir les dimensions de la source. Supposons maintenant que le rayon $R$ de la sphère source soit très petit devant la longueur d'onde $\lambda$ du son émis soit $R\ll\lambda$ . Comme $\lambda=2 \pi/k$ il vient $k.R\ll 1$ . On peut écrire, sur la surface de la sphère, $Rv=-(1+jkR)\Phi$ et, par un calcul d'approximation

$$\Phi=-R.v.(1-jkR)$$

Sur la sphère de rayon $R$ , l'onde émise modifie les propriétés de la surface $\Sigma$ . On peut admettre qu'il existe une force de pression $f=p.\Sigma$ ce qui donne

$$f=p.\Sigma=j\omega\mu_0 R.(1-jkR)\Sigma.v$$

Or $j\omega v$ est l'accélération "$a$" d'un point de la surface de la sphère, on peut donc écrire:

$$f=\mu_0 R\Sigma.a -k\omega\mu_0 R^2\Sigma.v$$

On voit donc apparaître une masse (facteur de $a$) que nous appellerons "masse de rayonnement" $m_R=\mu_0 R\Sigma$ et une force de frottement fluide de type "$-h.v$". En tenant compte de ce que $\Sigma=4\pi R^2$ et en ne conservant que la valeur de $\Sigma$ dans les calculs il vient

$$m_R=\frac{\mu_0}{2\sqrt{\pi}}.\Sigma^{3/2} h=\frac{\mu_0\Sigma^2\omega^2} {4\pi c}$$

on constate que la masse de rayonnement est indépendante de la pulsation, ce qui sera bien commode, en revanche la force de frottement fluide est très sensible à la valeur de la pulsation. Les calculs numériques que nous mènerons plus loin nous montreront, malgré tout, que, devant les frottements mécaniques, cette force est faible.

Il nous reste à déterminer la constante $A$ du potentiel des vitesses. On suppose toujours la rayon $R$ de la sphère petit devant la longueur d'onde et on désigne par $v_0$ la valeur maximale de la vitesse $v=v_0.\exp (j\omega t)$. On négligera le terme $kR$ dans l'expression de $\Phi$:

$$\Phi=-Rv_0\exp(j\omega t)=\frac{A}{R}\exp(j\omega t) A=-v_0.R^2$$

La fonction $\Phi$ prend alors l'expression en un point à la distance $r>R$ :

$$\Phi(r)=-\frac{R^2.v}{r}\exp(-jkr)$$

où $v$ désigne toujours la vitesse en un point de la sphère source. La pression au point loin de la sphère source s'écrit alors:

$$p=-\mu_0j\omega\Phi=\mu_0.\frac{4\pi R^2}{4\pi r}j\omega v.\exp(-jkr)$$

Or $j\omega v$ est l'accélération d'un point de la sphère source et $4\pi R^2a$ représente le flux d'accélération $\phi_a$ sortant de la surface de la source, de sorte que l'on peut écrire:

$$p=\frac{\mu_0\phi_a}{4\pi r}\exp(-jkr)$$

Nous en retiendrons le résultat important suivant: la pression sonore en un point à la distance $r$ de la source est inversement proportionnelle à $r$ et proportionnelle au flux d'accélération sortant de la source.

Par ailleurs on peut faire le calcul de la célérité $c$ dans le cas d'un gaz parfait. Nous avons déjà vu (2.3) que le coefficient de compressibilité adiabatique vaut $\chi=1/\gamma P_0$ . Pour une mole d'un gaz parfait, de masse molaire $M$ , la masse volumique s'écrit $M/V_0$ . Par ailleurs l'équation des gaz parfaits donne $P_0.V_0=R.T_0$ , soit $\chi\mu_0=M/\gamma RT_0$ et

$$c=\sqrt{\frac{\gamma RT_0}{M}}$$

Pour une température de $20^\circ C$, la célérité du son dans l'air est de l'ordre de $340 m.s^{-1}$.