Modèle de la sphère pulsante

On se place dans un fluide infini et on prend comme source sonore une sphère dont le rayon varie sinusoïdalement autour d'une position moyenne de rayon $R$ avec une élongation $x=X_0\cos \omega t$ avec $X_0\ll R$. Le problème se traite en coordonnées sphériques et ne dépend que de la variable $r$ distance du point à l'origine des coordonnées. Désignons par $\overrightarrow{e_r}$ le vecteur unitaire du rayon vecteur, les expressions du gradient et de la divergence sont:

$$\overrightarrow{\mathrm{grad}}\Phi=\frac{\partial \Phi}{\part... ...thrm{div}\vec{v}=2\frac{v_r}{r}+\frac{\partial v_r}{\partial r}$$

ce qui donne

$$\Delta\Phi=\frac{\partial^2\Phi}{\partial r^2}+\frac{2}{r}\frac{\partial\Phi}{\partial r}$$

l'équation de propagation devient alors:

$$\frac{\partial^2\Phi}{\partial r^2}+\frac{2}{r}\frac{\partial... ...partial r} -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \Phi}{\partial t^2}=0$$

Comme on est en régime sinusoïdal permanent du temps on cherche une solution complexe de la forme

$$\Phi=\frac{A}{r}.\exp[j(\omega t-kr)]$$

où $A$ et $k$ sont des constantes à déterminer.

$$\frac{\partial^2\Phi}{\partial t^2}=-\omega^2.\Phi \frac{\partial \Phi}{\partial r}=-(\frac{1}{r}+jk).\Phi$$

en reportant dans l'équation de propagation et en faisant les simplifications de calcul il reste

$$k^2=\frac{\omega^2}{c^2}$$

La valeur positive de $k$ donne une onde qui s'éloigne de la source et qu'on appelle onde progressive. La superposition avec la valeur négative de $k$ donnerait un système d'ondes stationnaires dont nous ne nous occupons pas pour l'instant. Nous gardons donc, jusqu'à ce qu'on en décide autrement, la valeur positive de $k$. La connaissance de la fonction $\Phi$ permet d'exprimer en tout point la valeur de la surpression $p$ et celle de la vitesse, dont nous ne conservons que la seule composante radiale $v$.

$$p=-j\omega\mu_0.\Phi v=-(jk+\frac{1}{r}).\Phi$$