Propagation du son dans un fluide en faibles signaux

Le niveau mathématique de ce chapitre est plus élévé que pour le reste du livre. On pourra, dans un premier temps, le survoler pour n'en retenir que le résultat final qui, lui, s'intègre facilement dans la représentation complexe des fonctions sinusoïdales du temps.

Désignons par $P_0$ la pression statique dans le fluide supposé en équilibre. On provoque de petites variations de pression entraînant de petites variations de vitesse des "particules" de fluide au sens de la mécanique des fluides. Soit alors $P$ la pression totale et $p$ la surpression telle que $p\ll P_0$ . La grandeur $p$ sera considérée comme un infiniment petit du premier ordre et nous négligerons, dans les calculs ultérieurs, les infiniments petits d'ordre supérieur: c'est l'hypothèse des faibles signaux par la linéarisation du problème. On peut écrire $P=P_0+p$. De même on désigne par $\vec{v}$ la vitesse d'une particule de fluide considérée aussi comme un infiniment petit du premier ordre.

On appelle $\chi$ le coefficient de compressibilité du fluide pour la transformation envisagée (le plus souvent adiabatique car les échanges de chaleur ne peuvent se faire aux fréquences auxquelles on travaille)

$$\chi=-\frac{1}{V}\left( \frac{\partial V}{\partial P}\right) _{Transformation}$$

En se limitant à des variations du premier ordre, la masse volumique $\mu$ du fluide peut s'écrire:

$$\mu=\mu_0.(1+\chi p)$$

où $\mu_0$ est la masse volumique du fluide à l'équilibre.

L'équation de conservation de la masse s'écrit de façon générale:

$$\mathrm{div}(\mu \vec{v})+\frac{\partial \mu}{\partial t}=0$$

ce qui donne

$$\mu \mathrm{div}\vec{v}+\vec{v}.\overrightarrow{\mathrm{grad}}\mu+\chi\mu_0 \frac{\partial p}{\partial t}=0$$

en ne conservant que les termes du premier ordre et en divisant par $\mu_0$ il vient:

$$\mathrm{div}\vec{v}=-\chi\frac{\partial p}{\partial t}$$

L'équation d'EULER pour un fluide parfait est:

$$\frac{\partial\vec{v}}{\partial t}+\overrightarrow{\mathrm{gr... ...tarrow{f_v}}{\mu}- \frac{1}{\mu}\overrightarrow{\mathrm{grad}}P$$

On néglige les termes du second ordre et on se rappelle que l'équation de l'équilibre statique se traduit par

$$\frac{\overrightarrow{f_v}}{\mu_0}-\frac{1}{\mu_0}\overrightarrow{\mathrm{grad}}P_0=0$$

de sorte qu'il ne reste que:

$$\overrightarrow{\mathrm{grad}}p=-\mu_0\frac{\partial\vec{v}}{\partial t}$$

En combinant l'équation de conservation de la masse et l'équation d'EULER il vient

$$\mathrm{div}(\overrightarrow{\mathrm{grad}}p)=\mu_0\chi\frac{\partial^2 p}{\partial t^2}$$

La divergence du gradient est l'opérateur du second ordre Laplacien scalaire noté $\Delta$ , on pose habituellement $\chi\mu_0=\frac{1}{c^2}$ où $c$ a les dimensions d'une célérité et il reste finalement:

$$\Delta p-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 p}{\partial t^2}=0$$

qui est une équation classique de propagation.

On admet, très souvent, que le champ des vitesses est à rotationnel nul, ce qui est très bien vérifié en faibles signaux. Cela implique que le champ des vitesses dérive d'un potentiel scalaire qu'on appelle potentiel des vitesses $\Phi$ tel que $\vec{v}=\overrightarrow{\mathrm{grad}}\Phi$ . Après deux lignes de calcul on retombe sur l'équation de propagation:

$$\Delta \Phi-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \Phi}{\partial t^2}=0$$