Etude du déplacement de la membrane en fonction de la fréquence

Le haut-parleur étant fixé avec son axe de révolution horizontal, nous allons appliquer aux bornes de la bobine mobile une tension sinusoïdale d'amplitude constante et de fréquence variable. Plaçons nous toujours à des fréquences assez faibles pour que l'on puisse négliger l'influence de l'inductance propre de la bobine. L'amplitude complexe de l'intensité s'écrit d'après la loi d'OHM généralisée:

$$I=\frac{U}{R}-\frac{Bl}{R}.j\omega .X$$

en reportant cette expression dans la relation fondamentale de la dynamique il vient

$$\left[ m.(j\omega)^2+\left( h+\frac{B^2l^2}{R}\right) .j\omega +k\right] .X= \frac{Bl}{R}.U$$

Posons toujours $\omega_0^2=k/m$, $2.S_M=h.\omega_0/k$ , $2.S_E=B^2l^2.\omega_0/k.R$ et $S_T=S_M+S_E$ ; l'indice $M$ est mis pour mécanique et $E$ pour électrique. On remarquera qu'ici on a pris le facteur d'amortissement et pas le coefficient de surtension car cela simplifie les calculs. Il est commode de poser $H=h+B^2l^2/R$. Il vient, en divisant par $k$ des deux côtés:

$$\left[ \left( \frac{j\omega}{\omega_0}\right) ^2+2.S_T.\frac{j\omega}{\omega_0}+1\right] .X= \frac{Bl}{k.R}.U$$

En repassant aux pulsations ou fréquences normalisées on en tire

$$X=\frac{Bl.U}{k.R}.\frac{1}{(j\nu)^2+2.S_T.j\nu +1}$$

Le terme dépendant de $\nu$ correspond à la fonction de transfert d'un filtre passe bas du second ordre, qui est l'homologue, en plus simple, du filtre passe haut déjà étudié. Nous nous intéresserons uniquement à la valeur maximale de l'amplitude $X_{max}$ reliée à la valeur maximale de la tension $U_{max}$ par le module de la fonction de transfert:

$$X_{max}=\frac{Bl.U_{max}}{k.R}.\frac{1}{\sqrt{(1-\nu^2)^2+4.S_T^2.\nu^2}}$$

Ici nous conserverons une échelle linéaire pour l'amplitude, car cette relation sera destinée à définir le domaine de linéarité des déplacements de la membrane connaissant la hauteur de l'entrefer et la longueur de la bobine (que l'on trouve en général dans tous les bons catalogues, sans être obligé de démonter un haut-parleur).

Pour des valeurs de $\nu$ très petite, $X_{max}$ tend vers une limite:

$$X_{max}\rightarrow \frac{Bl.U_{max}}{k.R}$$

on dit que le haut-parleur fonctionne alors en contrôle de raideur, le déplacement est fixé par la raideur comme pour un ressort.

Pour des valeurs de $\nu$ très grandes $X_{max}\rightarrow 0$ l'élongation sera très faible et la linéarité sera bien assurée. On dit que l'on est en contrôle de masse, car, si l'élongation est petite, l'accélération est proportionnelle à $U_{max}$ comme on le verra plus loin.

Le terme sous le radical est un trinôme du second degré en $\nu^2$ :

$$(\nu^2)^2-2.(1-2.S_T^2)\nu^2+1$$

ce trinôme passe par un maximum (premier coefficient positif) pour $\nu^2=1-2.S_T^2\$ , ce qui implique que $1-2.S_T^2>0$ ou $S_T<\sqrt{2}/2$ qui correspond au filtre de BUTTERWORTH. On constate donc qu'il n'y a pas toujours un maximum et que la résonance d'amplitude n'est pas toujours assurée. C'est pourquoi il faut préciser de quelle résonance on parle, sans précision on admet qu'il s'agit de la résonance d'impédance ou de vitesse. Les bons haut-parleurs ayant des $S_T$ supérieurs à $1$ il n'y a pas, pour eux, de résonance d'amplitude. Pour se faire une idée on peut tracer les courbes donnant $X_{max}$ , en échelle linéaire, en fonction de $\nu$ , en échelle logarithmique, pour les valeurs $S_T=0,5;S_T=\sqrt{2}/2;S_T=1$: