Etude de l'impédance

Cette étude poursuit un double but, d'abord elle nous permettra de valider expérimentalement le modèle choisi, ensuite elle nous permettra de mesurer des caractéristiques du haut-parleur pour les utiliser dans la mise au point des enceintes. L'inductance propre d'une bobine mobile dépasse très rarement le $milliHenry$ , ce qui, à $100 Hertz$ correspond à un module de l'impédance inférieur à $0,3 Ohm$; avec des résistances de l'ordre de $4 \grave{a} 8 Ohms$ , on pourra, dans un premier temps, négliger ce terme et écrire l'impédance sous la forme:

$$Z\approx R+\frac{R_{MS}}{1+j.Q_{MS}(\nu -1/\nu)}$$

Le dénominateur de l'impédance motionnelle a une partie réelle égale à $1$ et une partie imaginaire variable avec la fréquence. Dans le plan complexe cette impédance sera représentée par une droite d'abscisse $1$ parallèle à l'axe des imaginaires. L'inverse de ce nombre sera représenté aussi par l'inverse au sens géométrique de cette droite comme on l'a vu en 1.7. On obtient donc un cercle, passant par le centre d'inversion et de diamètre $R_{MS}$ . Ajouter $R$ à ce nombre revient à faire une translation de la même quantité le long de l'axe des réels.

Le cercle ainsi obtenu est appelé "cercle de KENNELLY"; il est caractéristique du phénomène de résonance. Parfois on peut trouver une boucle dans la courbe d'impédance, cela indique la présence d'une résonance.

On voit facilement que $\vert Z\vert$ passe par un maximum pour $\omega=\omega_0$ et que, pour cette pulsation, l'argument est nul. Pour $\omega<\omega_0$ l'argument est positif et pour $\omega>\omega_0$ l'argument est négatif, mais il ne faut pas que $\omega$ soit trop grand, sans quoi on ne peut plus négliger l'effet de l'inductance. La valeur $\omega=\omega_0$ est appelée pulsation de résonance de l'impédance, il lui correspond une fréquence de résonance $f_0$ qui caractérise le haut-parleur. L'impédance prend alors la valeur maximale " $Z_m = R + R_{MS}$".

Comme la courbe d'impédance est symétrique par rapport à l'axe réel, on se doute que les fréquences qui donneront la même valeur de $\vert Z\vert$ auront une relation simple. Calculons d'abord la module de l'impédance en posant provisoirement $y=\nu-1/\nu\$:

$$\vert Z\vert^2=\left\vert \frac{R+R_{MS}+j.R.Q_{MS}.y}{1+j.Q_... ...y}\right\vert ^2= \frac{Z_m^2+R^2.Q_{MS}^2.y^2}{1+Q_{MS}^2.y^2}$$

On constate que le résultat est obtenu pour une valeur de $y^2$, mais comme $y$ peut être positif ou négatif on a deux valeurs $y_1<0$ et $y_2>0$ telles que $y_1=-y_2$, en repassant au domaine des fréquences normalisées il vient:

$$1/\nu_1-\nu_1=\nu_2-1/\nu_2$$

soit, en multipliant par le produit $\nu_1.\nu_2$,

$$\nu_2-\nu_1^2.\nu_2=\nu_2^2.\nu_1-\nu_1$$

$$\nu_1+\nu_2=(\nu_1+\nu_2).\nu_1.\nu_2$$

soit, finalement, $\nu_1.\nu_2=1$ ou $f_1.f_2=f_0^2$. Si on veut déterminer entièrement ces fréquences il faut se fixer une valeur de $\vert Z\vert$. On choisit, pour simplifier les calculs, $\vert Z\vert^2=R.Z_m$ , que l'on reporte dans la valeur de $\vert Z\vert^2$ précédemment trouvée:

$$R.Z_m.(1+Q_{MS}^2.y^2)=Z_m^2+R^2.Q_{MS}^2.y^2$$

$$Q_{MS}^2.y^2.R.(Z_m-R)=Z_m.(Z_m-R)$$

$$Q_{MS}=\frac{1}{\vert y\vert}.\sqrt{\frac{Z_m}{R}}$$

calculons $y_2-y_1=2.\vert y\vert$ en tenant compte de $\nu_1.\nu_2=1$:

$$y_2-y_1=\nu_2-1/\nu_2-\nu_1+1/\nu_1=\nu_2-\nu_1-\nu_1+\nu_2=2.(\nu_2-\nu_1)$$

ce qui donne finalement

$$Q_{MS}=\frac{f_0}{f_2-f_1}.\sqrt{\frac{Z_m}{R}}$$

Il est traditionnel de poser $r_0=Z_m/R$ , nombre sans dimension qui permet de simplifier des calculs ultérieurs.

On peut se demander ce que devient l'expression de l'impédance pour $\omega$ assez supérieur à $\omega_0$. On ne peut plus alors négliger l'inductance propre de la bobine, mais, fort heureusement, le terme $1/\nu$ devient petit devant $\nu$ et nous le négligerons, ce qui donne pour nouvelle expression de $Z$:

$$Z=R+j.L\omega +\frac{R_{MS}}{1+j.Q_{MS}.\nu}=R+j.L\omega_0.\nu +\frac{R_{MS}(1-j.Q_{MS}.\nu)}{1+Q_{MS}^2.\nu^2}$$

La partie réelle de $Z$ s'écrit:

$$\Re (Z)=R+\frac{R_{MS}}{1+Q_{MS}^2.\nu^2}$$

ce terme semble tendre vers $R$ quand $\nu$ devient très grand. En fait c'est un peu plus compliqué, car, du fait de l'effet de peau, le courant se concentre près de la surface du conducteur et la résistance augmente, de sorte que la valeur de $R\$ croît et n'est plus constante.

La partie imaginaire de $Z$ peut s'écrire:

$$\Im (Z)=\nu.\left( L\omega_0-\frac{Q_{MS}.R_{MS}}{1+Q_{MS}^2.\nu^2}\right)$$

On constate qu'il existe une valeur $\nu_3$ de $\nu$ pour laquelle cette partie imaginaire s'annule et, donc, pour laquelle l'argument de l'impédance devient, à nouveau, nul. C'est un moyen de mesurer, approximativement, la valeur de l'inductance propre de la bobine, la précision étant suffisante pour les calculs ultérieurs de filtres.

$$L=\frac{R_{MS}.Q_{MS}}{\omega_0.(1+Q_{MS}^2.\nu_3^2)}$$

On peut remarquer aussi, qu'aux fréquences élevées, l'impédance motionnelle devient très faible et que l'impédance totale se confond avec l'impédance de la bobine bloquée. On peut faire une mesure classique à une fréquence de quelques $kiloHertz$. Mais cela suppose que l'on possède un pont de mesure en alternatif. La méthode, utilisant la deuxième fréquence où l'argument de l'impédance est nul, nous semble préférable car elle ne nécessite pas de matériel supplémentaire autre que celui destiné à l'étude expérimentale de l'impédance que nous verrons plus loin.