Equations du mouvement de la membrane

Nous nous intéressons ici uniquement au cas du haut-parleur nu non fixé dans une enceinte. On peut supposer qu'il est tenu sur un support par la culasse et que son axe de révolution est horizontal pour que l'influence de la pesanteur soit négligeable. Aux fréquences inférieures à $200 Hertz$ les dimensions d'un haut-parleur sont faibles devant la longueur d'onde du son produit, on admettra donc que, dans ces conditions, le haut-parleur ne rayonne pas. On désignera par $m$ la masse de l'équipage mobile.

Les équations fondamentales du mouvement de la membrane sont obtenus par le principe fondamental de la dynamique et la loi d'OHM généralisée. Nous avons déjà précisé les forces mises en jeu, en ne tenant pas compte du rayonnement. L'équipage mobile est assimilé à un solide en mouvement de translation d'élongation $x$ d'où

$$m.d^2x/dt^2=-k.x-h.dx/dt+Bl.i$$

en regroupant les termes en $x$ dans le premier membre il vient

$$m.d^2x/dt^2+h.dx/dt+k.x=Bl.i$$

La loi d'OHM généralisée peut s'énoncer ainsi: La tension instantanée aux bornes d'un circuit est égale au produit de sa résistance par le courant diminué de la somme des forces électromotrices en série dans le circuit. Cela donne:

$$u=R.i+Bl.dx/dt+L.di/dt$$

Nous avons vu qu'une bonne méthode d'étude consiste à utiliser des fonctions sinusoïdales du temps et leurs amplitudes complexes. Nous allons, dès maintenant, y avoir recours. Désignons par $U,I,X$ , respectivement, les amplitudes complexes des fonctions sinusoïdales du temps $u,i,x$ et écrivons les deux équations précédentes en amplitude complexe.

$$[m.(j\omega )^2+h.j\omega +k].X=Bl.I$$

$$U=R.I+jL\omega .I+Bl.j\omega X$$

On pourra donc ainsi trouver des relations entre $X$ et $U$ , $U$ et $I$ et $X$ et $I$ , bien que cette dernière ait peu d'intérêt. Tirons la valeur de $X$ de la première relation et portons la dans la seconde:

$$U=R.I+jl\omega .I+\frac{B^2l^2.j\omega .I}{m.(j\omega )^2+h.j\omega +k}$$

on constate que $I$ est en facteur dans le second membre et on peut donc définir une impédance globale du haut-parleur:

$$Z=\frac{U}{I}=R+jL\omega +\frac{B^2l^2.j\omega}{h.j\omega +k+m.(j\omega )^2}$$

La première partie de cette impédance correspond à l'impédance de la bobine, supposée bloquée, $Z_B=R+jL\omega$ , l'autre partie est un terme dépendant du mouvement de la membrane : on l'appelle "impédance motionnelle". ce dernier terme se travaille un peu en posant $\omega_0^2=k/m$ et $m\omega_0/h=Q_{MS}$. Ce qui donne, en divisant numérateur et dénominateur par $h.j\omega$:

$$Z_M=\frac{B^2l^2/h}{1+j.Q_{MS}(\omega/\omega_0-\omega_0/\omega )}$$

On constate que le terme $B^2l^2/h$ a les dimensions d'une résistance électrique et on peut l'appeler "$R_{MS}$", on remarquera que l'on a conservé, ici, un coefficient de surtension mécanique $Q_{MS}$, car cela simplifie les calculs et qu'il ne faut pas être sectaire. L'impédance totale du haut-parleur s'écrira enfin:

$$Z=R+jL\omega +\frac{R_{MS}}{1+j.Q_{MS}(\nu-1/\nu)}$$

avec $\nu=\omega/\omega_0$ déjà utilisée.