Modélisation linéaire du fonctionnement

Nous faisons, d'abord, l'hypothèse que l'ensemble membrane et bobine mobile se comporte comme un solide rigide qui se déplace d'un seul bloc. Cela est bien vérifié dans le bas du spectre sonore jusqu'à, en gros, $200$ à $500 Hertz$, ce qui sera suffisant en pratique. Le spider et la suspension périphérique seront considéré comme des ressorts parfaitement linéaires de raideur totale $k$ (là encore les Anglo-saxons parlent de compliance $C=1/k$, ce qui ne simplifie pas les calculs). Cette hypothèse est l'un des maillons faibles du modèle, nous en discuterons, mais c'est quand même celle qui donne les calculs les plus simples et une approximation convenable pour la mise au point des enceintes acoustiques. Pour une thèse de Doctorat ce serait un peu léger. La force de rappel vers la position d'équilibre est alors: $f=-k.x$, en projection sur l'axe de révolution et en désignant, naturellement par $x$ l'élongation de l'équipage mobile à partir de sa position d'équilibre.

Lors du mouvement de la membrane divers frottements fluides se produisent (on évite les frottements solides par un bon centrage) et on les représentera par une force de frottement fluide proportionnelle à la vitesse et de sens opposé à celle-ci du type $f=-h.dx/dt$ . Là encore la constance de $h$ n'est pas assurée; mais on n'a pas mieux à proposer et on s'en contentera.

Le champ magnétique dans l'entrefer est radial (perpendiculaire à l'axe de révolution) , nous supposerons que sa norme est constante et vaut $B$ . Le fil de la bobine est perpendiculaire au champ magnétique, circonstance favorable pour avoir la force magnétique maximale. Si on désigne par $l$ la longueur de fil plongée dans le champ magnétique, il se créé une force magnétique parallèle à l'axe de révolution et de valeur $f_M=Bl.i$ , en appelant $i$ le courant qui circule dans la bobine. Les fabricants de haut-parleurs ont la bonne idée de repérer, soit par un point rouge, soit par un "+", la borne d'entrée du courant qui provoque une force dirigée du côté opposé à la culasse que l'on désigne par "l'extérieur". En fait la valeur de $B$ varie un peu, au voisinage de l'entrefer, mais cela est sans importance car, seul, le produit $Bl$ est une caractéristique du haut-parleur valable tant que l'équipage mobile se déplace dans les limites de linéarité.

Le déplacement du conducteur de longueur $l$ dans le champ magnétique $B$ fait apparaître une force électromotrice d'induction dont nous avons déjà donné l'expression: $e=-Bl.dx/dt$ . Par ailleurs la variation du courant $i$ dans la bobine provoque un phénomène d'auto-induction bien représenté par l'inductance propre du circuit $L$ . On peut remarquer que la présence d'un matériau magnétique dans la bobine donne une valeur de $L$ non négligeable. Pour mémoire on peut citer la capacité répartie de la bobine qui, elle, est largement négligeable et nous n'en parlerons plus.

Nous désignerons par $u(t)$ la tension aux bornes de la bobine mobile en supposant que le générateur qui l'alimente a une résistance interne négligeable, ce qui est le cas de tout bon amplificateur.