Filtre passif du second ordre

Nous nous limiterons encore ici au cas du filtre passe-haut car il constitue un bon modèle de la reproduction sonore d' une enceinte close. Par ailleurs, on démontre que tous les filtres linéaires possibles peuvent être constitués par la mise en cascade de filtres du premier et du second ordre, et seulement ceux là. Donc avec l'étude du filtre du second ordre, nous aurons fait le tour de la question.

On obtient ce filtre en ajoutant, en parallèle sur la résistance du filtre du premier ordre, une bobine d'inductance $L$, dont nous négligerons la résistance $r$ devant la résistance $R$, cela simplifie les calculs et ne lève rien à la généralité du problème.

La mise en parallèle de la bobine d'impédance $jL\omega$ et de la résistance $R$ donne une impédance équivalente $jRL\omega/(R+jL\omega)$. Un calcul analogue à celui de la section 2.9 fournit la fonction de transfert

$$\frac{U_s}{U_e}=\frac{jRL\omega/(R+jL\omega)}{1/jC\omega +jRL\omega/(R+jL\omega)}$$

En chassant les dénominateurs il vient

$$\frac{U_s}{U_e}=\frac{j^2RLC\omega^2}{j^2RLC\omega^2+jL\omega +R}$$

Divisons numérateur et dénominateur par $R$ et posons $LC\omega_0^2=1$ et $L\omega_0/R =2S$, la fonction de transfert s'écrit alors:

$$\frac{U_s}{U_e}=\frac{(j\omega/\omega _0)^2}{(j\omega/\omega _0)^2 + 2S(j\omega/\omega _0) +1}$$

Posons, comme d'habitude, la pulsation ou fréquence réduite : $\nu=\omega/\omega_0$ , il nous reste

$$\frac{U_s}{U_e}=\frac{(j\nu)^2}{(j\nu)^2+2S.j\nu + 1}$$

Cette fois nous avons un paramètre supplémentaire qui s'introduit dans la fonction de transfert: c'est le paramètre $S$ , que l'on appelle "facteur" ou "coefficient" d'amortissement. Sa valeur tourne autour de l'unité, ce qui est très commode, dans le cas des filtres. Les Anglo-saxons, qui ne font jamais rien comme les autres, préfèrent définir le coefficient de surtension $Q=1/2S$ ; c'est une survivance de l'étude des circuits résonants, où cette grandeur a effectivement son importance, mais dans le cas des filtres cela est complètement obsolète. Calculons le gain en $dB$ de ce filtre

$$G dB=20.\log\vert H(j\nu)\vert=20.\log\frac{\nu^2}{\sqrt{(1-\nu^2)^2+4.S^2.\nu^2}}$$

Cette fois nous obtenons une fonction dépendant du paramètre $S$ , et, donc, nous aurons une famille de courbes. Fort heureusement, seul un petit nombre de valeurs de $S$ présente de l'intérêt pour l'étude de ce filtre. On prendra $S=0,5;\sqrt{2}/2\ et 1$ et les valeurs voisines de celles-ci.

Etudions d'abord les asymptotes de ces courbes, qui sont les mêmes pour toutes. Pour $\nu\ll 1$ , le dénominateur se réduit à l'unité et il reste $G=2.20\log\nu .$ Cette fonction est représentée, dans les axes $G$ et $k.\log\nu$, par une droite de pente deux fois $6 dB/octave$ , soit $12 dB/octave$ . Nous utiliserons plus volontiers par la suite l'octave comme mesure d'un intervalle de fréquences car nos modèles couvriront tout au plus une décade, et il faut donc pouvoir la subdiviser. Ensuite pour $\nu\gg 1$ , le dénominateur est équivalent à $\nu^2$ et $G\approx 0$, l'axe (logarithmique) des "$\nu$" est donc asymptote à la courbe.

Deux valeurs de $S$ sont importantes, car elles sont, dans le cas particulier du filtre du second ordre, l'expression de courbes plus générales. Prenons d'abord $S=1$ , alors

$$G=20\log\frac{\nu^2}{1+\nu^2}$$

qui est la cas particulier de

$$G=20\log\frac{\nu^n}{\sqrt{(1+\nu^2)^n}}$$

courbe de BESSEL d'ordre "$n$". Cette courbe donne une variation de l'argument faible, ce qui nous intéresse assez peu ici. Par ailleurs on démontre que pour $S>1$ le filtre peut se décomposer en deux filtres du premier ordre en cascade, pour $S<1$ cela n'est, évidemment, plus possible. Il est facile de voir que pour $\nu=1$ , la valeur de $G$ est $-n.3 dB$ , soit pour le filtre d'ordre $2$ : $-6 dB$.

Pour $S=\sqrt{2}/2$ la fonction $G$ prend pour valeur

$$G=20\log\frac{\nu^2}{\sqrt{1+\nu^4}}$$

qui est la cas particulier de

$$G=20\log\frac{\nu^n}{\sqrt{1+\nu^{2n}}}$$

courbe de BUTTERWORTH d'ordre "$n$" . Pour $\nu=1 G=-3 dB$ et la courbe obtenue est très proche de l'asymptote horizontale. Ce résultat est souvent recherché dans le cas des enceintes acoustiques.

Il nous reste à voir le cas $S=0,5$ qui n'a pas de généralisation mais qui donne, pour $\nu=1 G=0$ , la courbe passe alors par un maximum pour $\nu=\sqrt{2}$ et $G=1,2 dB$. On peut noter que pour $S<\sqrt{2}/2$ les courbes passent par un maximum.