Décibels et échelles logarithmiques

Un bon dessin valant un long discours, on est tenté de représenter les résultats précédents par des figures. Pour simplifier l'exposé, nous laisserons de côté la fonction "$\varphi$" qui est peu utilisée dans le domaine de la reproduction sonore. Il nous faut donc tracer la courbe représentant les variations de $\vert H\vert$ en fonction de $\omega$ . On constate que les variations peuvent être importantes et qu'une échelle linéaire sur les axes va tasser la courbe près de l'origine. On est donc amené à prendre une échelle logarithmique qui donne, à chaque multiplication par $10$ le même intervalle sur l'axe. $\vert H\vert$ est un nombre sans dimensions, mais $\omega$ a les dimensions de l'inverse d'un temps et les logarithmes n'aiment pas les grandeurs avec dimensions: il nous faut donc définir une grandeur sans dimension $\nu=\omega/\omega_0$ , que nous appellerons "pulsation réduite". Comme $\omega= 2\pi f$ , $\nu$ est aussi la "fréquence réduite". On utilise la pulsation dans les calculs mathématiques et la fréquence pour les mesures à l'aide d'un fréquencemètre. Quand on multiplie la fréquence par $2$ on dit que l'on a un intervalle d'une octave et par $10$ , une décade. Il y a un peu plus de $3$ octaves dans une décade. Le domaine des ondes sonores couvre de $20 Hertz$ à $20\ kiloHertz$ , soit $3$ décades ou $10$ octaves. On voit donc l'utilité d'une échelle logarithmique. Bien que le logarithme soit une grandeur sans dimensions, on a éprouvé le besoin de définir une "sorte d'unité" pour la fonction $G=20\log \vert H\vert$ que l'on exprime en "décibels", c'est, en quelque sorte, le pendant de l'octave et de la décade. On est donc amené à tracer la courbe donnant $20\log \vert H\vert$ en fonction de $k\log \nu$ , où $k$ est une constante d'échelle arbitrairement choisie, pour les courbes théoriques on choisit souvent $k=20$ pour avoir les mêmes représentations sur les deux axes. Un rapport de $\vert H\vert$ égal à $2$ correspond à $20\log 2=6 dB$, un rapport de $\vert H\vert$ égal à $10$ correspond à $20\ dB$. La courbe possède un point important pour $\nu=1$ , alors $20\log \vert H\vert=-3 dB$ . Pour $\nu\ll 1$ la courbe se réduit à $G\approx k\log\nu$ , soit une droite de pente $+1$ , ou $6 dB/octave$ , ou $20 dB/d\acute{e}cade$ ; c'est l'asymptote à la courbe dans ce domaine. Pour $\nu\gg 1$ , la courbe se réduit à $G=0$ , soit l'axe des fréquences. Il est donc facile de tracer la courbe connaissant deux asymptotes et un point.