Filtre passif du premier ordre

Le filtre le plus simple possède deux bornes d'entrée et deux bornes de sortie. On désigne l'amplitude complexe de la tension d'entrée par "$U_e$" et l'amplitude complexe de la tension de sortie par "$U_s$". On voit qu'il existe une relation faisant intervenir la pulsation $\omega$ et les diverses composantes du circuit. A chaque étape du calcul on a une relation linéaire et à la fin nous obtiendrons une relation du type

$$U_s/U_e=H(j\omega)$$

où $H(j\omega)$ est appelée la "fonction de transfert" du filtre, ou, parfois, le "gain complexe".

On envisagera, dans cette section, uniquement le cas du filtre passe-haut du premier ordre pour définir des notions générales qui seront utilisées plus loin. Ce filtre est constitué de la mise en série d'un condensateur de capacité $C$ et d'un conducteur ohmique de résistance $R$. L'entrée se fait aux bornes de l'ensemble, et la sortie aux bornes de la "résistance".

Il faut noter que, bien que l'on ait mis deux fils pour indiquer la sortie aux bornes de la résistance, il ne passe aucun courant dans ces fils. Le courant qui traverse les fils d'amenée au condensateur traverse intégralement la résistance. Désignons par $I$ l'amplitude complexe de ce courant. On peut écrire : $U_s=R.I$ et $U_e=(R+1/jC\omega)I$ , soit ,en réduisant la fraction, $U_s/U_e= jRC\omega/(1+jRC\omega)$ . On constate que le produit $RC$ a les dimensions de l'inverse d'une pulsation et on peut poser comme constante du problème $\omega_0=1/RC$ . La fonction de transfert devient alors

$$H(j\omega )=\frac{j\omega/\omega_0}{1+j\omega/\omega_0}$$

Pour des valeurs de $\omega$ beaucoup plus petites que $\omega_0$ le dénominateur se réduit à $1$ et il ne reste que le numérateur, lui-même plus petit que $1$ en module. Les basses fréquences passeront mal. Pour $\omega \gg\omega_0$ le terme $1$ du dénominateur est négligeable et il reste $H\approx 1$ . Les hautes fréquences passeront sans atténuation, d'où le nom de filtre passe-haut.

Le gain complexe est très commode pour les calculs mais il faut revenir à la réalité pour les mesures. On calcule donc le module du gain $\vert H\vert$, qui est le rapport de la tension efficace de sortie à la tension efficace d'entrée, et l'argument du gain $\varphi$ , qui est le déphasage entre la sortie et l'entrée. Après un calcul simple il vient

$$\vert H\vert=\frac{\omega/\omega_0}{\sqrt{1+(\omega/\omega_0)^2}} \mbox{ et }\tan\varphi=\omega_0/\omega$$

On constate que quand $\omega \rightarrow 0$ $\vert H\vert\rightarrow 0$ et $\varphi\rightarrow\pi/2$; quand $\omega\rightarrow \infty$ alors $\vert H\vert\rightarrow 1$ et $\varphi\rightarrow 0$.