Le gaz parfait

Le gaz parfait est tout d'abord un gaz (on s'en serait douté), c'est à dire un milieux fluide qui tend à occuper tout le volume du récipient qui le contient. Ce gaz a des propriétés particulières qui simplifient son étude. Nous supposerons tout d'abord qu'il est au repos dans le référentiel d'étude (le plus souvent lié à la Terre). Pour simplifier encore plus nous supposerons que le volume du récipient est assez faible pour que toutes ses propriétés soient les mêmes en tous ses points (en particulier influence de la pesanteur négligeable). Le gaz est alors défini par son volume $V$ , sa pression $P$ et sa température thermodynamique T. Le volume est, bien sûr, celui du récipient; la pression est le rapport de la force perpendiculaire à la paroi exercée par le gaz (il n'y a pas de force tangente) à la surface sur laquelle elle s'exerce : $P=F_N/\Sigma$ en désignant par $F_N$ la force normale et par $\Sigma$ la valeur de la surface; la température thermodynamique pourra être définie en imposant une relation d'état entre $P,V$ et $T$ pour le gaz parfait. C'est la fameuse loi des gaz parfaits: $P.V/T=constante$. La constante est d'ailleurs égale au produit du nombre de moles n du gaz (lié à la quantité de matière) par la constante $R$ des gaz parfaits ( $R=8.32$ ), de sorte que l'on peut aussi écrire $P.V=n.R.T$.

Lorsque la température est constante et que l'on fait varier la pression et le volume on dit que le gaz subit une transformation isotherme. Dans ce cas le gaz échange du travail $W$ et de la chaleur $Q$ avec le milieu extérieur. Le travail est le travail des forces de pression sur les parois du récipient, et la chaleur est la chaleur échangée à travers les parois. On démontre que $W+Q=0$.

Une autre tranformation importante du gaz parfait est la transformation adiabatique qui n'échange pas de chaleur avec l'extérieur, mais la température peut alors varier. Si on suppose que la transformation est assez lente pour que, à chaque instant, le gaz reste en équilibre thermodynamique (et ce sera le cas pour nous), on peut écrire une simple relation entre $P$ , $V$ et une constante liée au gaz $\gamma$: c'est l'équation de l'adiabatique réversible du gaz parfait $P.V^\gamma=constante$. La valeur de $\gamma$ est égale au rapport entre la chaleur molaire à pression constante et la chaleur molaire à volume constant du gaz et dépend du nombre d'atomes contenus dans la molécule du gaz. Si vous n'avez pas tout compris, ce n'est pas grave, il vous suffira de retenir que, pour l'air, gaz diatomique, $\gamma=1,4$.

Dans l'étude des enceintes acoustiques on fait subir à l'air contenu dans un récipient une transformation adiabatique provoquant de petites variations de pression et de volume autour d'une valeur moyenne. Soient $P_0$ et $V_0$ ces valeurs moyennes et $\Delta P$ et $\Delta V$ les petites variations, on peut alors écrire: $(P_0+\Delta P)(V_0+\Delta V)^\gamma=P_0.V_0^\gamma$. En divisant des deux côtés par le second membre il vient $(1+\Delta P/P_0)(1+\Delta V/V_0)^\gamma=1$ . $\Delta P/P_0$ et $\Delta V/V_0$ sont très petits devant l'unité on peut donc utiliser des formules d'approximation: $(1+\varepsilon)^\gamma \approx 1+\gamma \varepsilon$ et $(1+\varepsilon)(1+\varepsilon ') \approx 1+\varepsilon+\varepsilon '$. Ce qui donne après simplification par le terme $1$ $\Delta P/P_0+\gamma.\Delta V/V_0 = 0$

Ce résultat nous servira à deux choses: à calculer la force exercée sur une portion de paroi de surface $\Sigma$ et à définir le coefficient de compressibilité adiabatique du gaz.

Supposons, qu'au repos, des deux cotés de la paroi la pression soit $P_0$ et que l'on provoque une petite variation de volume $\Delta V$ du récipient, à l'intérieur apparaît une surpression $\Delta P$ et donc une force pressante dirigée vers l'extérieur du récipient $F_P=\Sigma.\Delta P$. Si la variation de volume est provoquée par un léger déplacement $x$ de la portion de paroi de surface $\Sigma$ vers l'extérieur $\Delta V=\Sigma x$. De la relation de l'adiabatique précédente on tire $\Delta P=-\gamma P_0\Delta V/V_0$ . En remplaçant par les diverses valeurs trouvées on en vient à $F_P=-\gamma P_0\Sigma ^2.x/V_0$ . $\Sigma,\gamma,P_0,V_0$ sont des constantes du problème, on peut donc poser $k'=\gamma P_0\Sigma ^2/V_0$ d'où $F_P=-k'.x$. On obtient ainsi une force proportionnelle à l'élongation $x$, analogue à la force exercée par un ressort que l'on allonge de $x$ sur un point matériel $F=-k.x$. C'est le principe de la suspension pneumatique d'un haut-parleur en enceinte close.

Par ailleurs on définit un coefficient de compressibilité du gaz, lors de petites variations de pression et de volume par la relation $\chi=-\Delta V/V_0\Delta P$. Dans le cas de la transformation adiabatique nous avons $\Delta V/V_0\Delta P=-1/\gamma P_0$ soit $\chi=1/\gamma P_0$. Nous aurons besoin de ce résultat pour calculer la célérité de propagation du son dans un gaz et,en particulier, dans l'air.