Mécanique du point matériel

La mécanique est l'étude des mouvements des corps soumis à des actions. L'étude du mouvement seul constitue la cinématique, et la relation entre les actions et le mouvement est la dynamique. Le premier corps idéal que l'on étudie est le point matériel qui a les dimensions, nulles, d'un point mathématique et une masse $m$. Pour étudier le mouvement de ce point il faut se placer dans un repère d'espace de façon à en définir les coordonnées. Ici nous supposerons que l'espace physique a trois dimensions et a les propriétés d'un espace euclidien (linéarité entre autre). Pour simplifier encore les choses nous le munirons d'un repère orthonormé $Ox,Oy,Oz$ ce qui sera largement suffisant pour la suite, à une exception près. Nous attacherons à ce repère un système d'horloges nous permettant de définir la valeur de la variable temps $t$ en tout point. Nous ne nous étendrons pas sur la réalisation pratique d'un tel dispositif.

La trajectoire du point est l'ensemble des positions successives du point. Nous supposerons que la courbe ainsi engendrée est bien continue et dérivable et possède en tout point une tangente bien définie (dans un problème de physique il n'y a aucune raison qu'il n'en soit pas ainsi, en mathématiques on peut toujours compliquer les choses). La vitesse du point $M$ est la dérivée par rapport au temps du vecteur $\overrightarrow{OM}$ dont les composantes sur les trois axes sont ( $dx/dt,dy/dt,dz/dt$) . On définit de la même façon le vecteur accélération qui est la dérivée du vecteur vitesse $\vec{a}=d\vec{v}/dt$ par rapport au temps.

Après avoir rappelé la cinématique du point il faut s'attaquer maintenant à la dynamique. Il y a deux méthodes: la méthode de LAGRANGE très générale mais plutôt difficile pour un débutant, et la méthode faisant appel à la notion de force. C'est, bien évidemment, cette dernière que nous choisirons. On appelle force toute cause capable de modifier le mouvement d'un point matériel. Ce point est caractérisé par une grandeur qui lui est attachée et qu'on appelle sa masse "$m$". Cette masse est une constante. Si on peut calculer la force agissant sur le point (et nous l'aurons le plus souvent), il y a une relation simple entre la force désignée par le vecteur $\vec{f}$ et l'accélération $\vec{a}$. C'est la relation fondamentale de la dynamique bien connue : $\vec{f}=m.\vec{a}$. Nous en donnons ici la forme la plus simple puisque c'est la seule dont nous aurons besoin par la suite.

Le mouvement d'un point peut se faire de façon très générale, comme nous venons de le voir, dans l'espace à trois dimensions, mais de nombreux problèmes physiques permettent des simplifications en se limitant soit à un plan (problème à deux dimensions) soit même à une droite (problème à une dimension). La majeure partie de ce livre sera consacrée à des mouvements sur une droite, ce qui limitera les difficultés de calcul.