Détermination du flux de vitesse

A la connaissance de l'auteur cette méthode n'a jamais été décrite dans la littérature scientifique. Pourtant elle fonctionne très bien et peut servir à l'asservissement d'une enceinte close aux basse fréquences. Elle permet d'obtenir une tension proportionnelle au flux de vitesse sortant de l'enceinte, et, donc, par une dérivation par rapport au temps, une tension proportionnelle au flux d'accélération. Nous avons déjà vu que la pression à l'intérieur d'une enceinte est proportionnelle au flux de déplacement de la membrane.

Soit $V$ le volume de l'enceinte, $\Sigma$ la surface de la membrane du haut-parleur et $x$ le déplacement vers l'extérieur de celle-ci. La petite variation de volume vaut $\Sigma.x$. Comme l'air à l'intérieur de l'enceinte subit des variations très rapides on peut considérer que sa transformation est adiabatique suivant la loi $P.V^\gamma=Cste$ où $\gamma$ est, cette fois, le rapport des chaleurs molaires à pression constante $C_P$ et à volume constant $C_V$ de l'air. En différentiant logarithmiquement cette expression il vient

$$\frac{dP}{P} + \gamma\frac{dV}{V} = 0$$

La variation de pression à l'intérieur de l'enceinte est la pression acoustique sinusoïdale que nous désignerons par $p$, la pression moyenne est la pression atmosphérique $P_0$ et la variation de volume a déjà été calculée. Ce qui donne:

$$p = -\frac{\gamma.P_0.\Sigma.x}{V}$$

Il ne reste plus qu'à trouver le moyen de déterminer la pression acoustique à l'intérieur de l'enceinte. On peut penser à utiliser un microphone à pression, amis il faut dériver deux fois pour avoir le flux d'accélération. La méthode la plus simple consiste à utiliser un petit haut-parleur dans une enceinte de faible volume pour qu'il fonctionne en contrôle de raideur dans le domaine de fréquences envisagé. Un tweeter électrodynamique enfermé dans sa coquille et de fréquence de résonance de quelques milliers de Hertz fait très bien l'affaire. Si on veut maîtriser un peu mieux les paramètres du système on peut prendre un petit boomer de $10 cm$ dont la bobine mobile sera assez longue pour l'application envisagée et qui sera mis dans une petite enceinte close donnant à l'ensemble une fréquence de résonance de l'ordre de $1000$ à $2000$ Hertz.

La raideur de la suspension et de l'enceinte vaut $k+k'$, la surface de la membrane sera désignée par $\sigma$ et supposée très petite devant celle du haut-parleur principal de sorte que la variation de volume due au déplacement de cette membrane est négligeable devant l'autre. Sous l'action de la pression $p$ la membrane du petit haut-parleur subit une force $\sigma.p$ et un déplacement $y = \sigma.p/(k+k')$. Les extrémités de la bobine mobile sont reliées à une grande résistance de façon à pouvoir négliger le courant qui traverse cette bobine. La tension aux bornes de la bobine est alors uniquement la force électromotrice due au déplacement $u = -B.l.dy/dt$. En remplaçant $y$ par sa valeur il vient

$$u = B.l.\frac{\sigma.\Sigma.\gamma.P_0}{V.(k+k')}.\frac{dx}{dt}$$

On voit bien que la tension $u$ est proportionnelle au flux de vitesse $\Sigma.dx/dt$ sortant de l'enceinte. Le signe de cette tension peut être changé en permutant les bornes de la bobine mobile du petit haut-parleur si besoin est. A l'aide d'un circuit faisant la dérivée par rapport au temps on obtient une tension proportionnelle au flux d'accélération caractérisant le rayonnement acoustique de l'enceinte.

Nous avons envisagé pour le calcul le cas d'une enceinte close, mais comme nous avons accès directement au flux d'accélération on peut imaginer d'asservir une enceinte bass-reflex ou actif-passif. Dans ce cas il faut reprendre les calculs de la fonction de transfert pour vérifier que la stabilité soit bien assurée. Je laisse le soin au lecteur curieux de se livrer à cet exercice.