Calcul de l'impédance de l'enceinte.

Ce calcul est utile pour vérifier par des mesures électroniques faciles à réaliser les calculs précédents. On passe tout de suite en amplitude complexe puisque l'impédance n'a de sens que dans ce cas.

$$U = RI + j\omega Bl X_1$$

On garde comme notations $M=1+A_{11}+A_{12}$ et $N=C(1+A_{22})$. L'expression de $X_1$ est alors:

$$X_1\frac{(M-\nu ^2+2jS_T\nu)(N-\nu ^2)-A_{12}A_{22}C}{N-\nu ^2}=U\frac{Bl}{RM_1\omega _0^2}$$

$$U*[1-\frac{j\omega\frac{B^2l^2}{RM_1\omega _0^2}(N-\nu ^2)}{(M-\nu ^2+2jS_T\nu)(N-\nu ^2) -A_{12}A_{22}C}]=R*I$$

Par ailleurs on se rappelle que $S_T=S_E+S_M$ et que

$$2S_E=\frac{B^2l^2}{RM_1\omega _0}$$

Ce qui donne:

$$Z=\frac{U}{I}=R*\frac{(M-\nu ^2)(N-\nu ^2)-A_{12}A_{22}C+2jS_... ...u ^2)} {(M-\nu ^2)(N-\nu ^2)-A_{12}A_{22}C+2jS_M\nu (N-\nu ^2)}$$

$Z$ est réel d'abord pour $N-\nu ^2=0$ alors $Z=R$. On est au maximum de rayonnement. Puis pour $(M-\nu ^2)(N-\nu ^2)-A_{12}A_{22}C=0$. Avec $y=\nu ^2$ on a une équation du second degré en $y$ facile à résoudre.

Prenons les valeurs numériques précédentes: $N=1,7$,$M=3,48$ et $A_{12}A_{22}C=3,03$.

$$(3,48-y)(1,7-y)-3,03=0$$

$$y^2-5,18y+2,89=0$$

On trouve comme solutions: $y_1=0,635$ et $y_2=4,545$ soit pour les fréquences $f_1=33,5\ Hertz$ et $f_2=89,5 Hertz$.