Calculs avec le 17CSA-DB et le P21

Le 17CSA-DB est un haut-parleur de 17 cm à double bobine de fabrication DAVIS ACOUSTICS. Il a été choisi pour réaliser une enceinte de volume raisonnable. Ses caractéristiques sont les suivantes : fréquence de résonance $42 Hertz$, coefficient d'amortissement $S_T=1,61$ , volume équivalent à la raideur de la suspension $V_{1AS}=23,5 litres$. Ces valeurs suffisent pour faire les calculs.

Le passif P21 est constitué d'un jonc de 21 cm et d'une membrane en carton de 2 mm d'épaisseur dont on déterminera la masse par le calcul en ajoutant une épaisseur de bonne dimension. Le volume équivalent à la raideur de la suspension est alors de l'ordre de $V_{2AS}=195 litres$. La détermination de la raideur de la suspension pour un passif est assez délicate et il ne faut pas accorder une trop grande précision à cette mesure, de toute façon l'oreille tolère de petits écarts aux fréquences basses. Avec ces valeurs on prendra $\mu =8,3$.

Il faut donc essayer diverses valeurs de $N$. Je fais grâce au lecteur des diverses tentatives qui n'ont rien donné. Simplement on peut dire que des valeurs trop grandes conduisent à une impossibilité et que des valeurs trop petites donnent un rendement trop faible. Il faut donc chercher une valeur à la limite. Nous avons trouvé que $N=1,7$ convenait , c'est cette valeur qui va nous servir pour la suite du calcul.

$$L=2S_T^2=5,18=1+A_{11}+A_{12}+1,7 soit A_{11}+A_{12}=2,48$$

$$(1+A_{11}+A_{12})*1,7-A_{12}A_{22}C=1,7^2 soit A_{12}A_{22}C=3,026$$

En multipliant par $\mu$ la dernière expression il vient: $A_{22}^2C=25,1156$. La valeur de $N$ permet d'écrire : $(1+A_{22})C=1,7$. Soit, en simplifiant par $C$: $A_{22}^2= 14,77(1+A_{22})$. On obtient ainsi l'équation du second degré : $A_{22}^2-14,77A_{22} -14,77=0$. Cette équation a deux racines réelles, une positive, une négative, seule la positive nous intéresse:

$$A_{22}=\frac{14,77+\sqrt{14,77^2+4*14,77}}{2}=15,71$$

On en tire alors la valeur de $A_{12}=A_{22}/\mu =1,89$ et la valeur de $A_{11}=2,48-A_{12} =0,59$. Enfin on a $C=1,7/(1+A_{22})=0,102$.

Avec $N=1,7$ la fréquence de résonance du passif dans le volume $V_2$ sera $f_R=42*\sqrt{1,7} =54,8 Hertz$. La raideur du jonc est de l'ordre de $287$ ce qui nous permet de calculer la masse de la membrane du passif de l'ordre de $M_2=54 g$. Le carton gris de $2 mm$ d'épaisseur a une masse de $17 g$ au décimètre carré, le passif de 21 cm a une surface de $2 dm^2$ , la masse d'un cercle est donc de $34 g$ il faudra donc coller une masse en carton de $20 g$ soit un cercle de $6 cm$ de rayon.

Le volume $V_1=39,8 litres$ , si on met de la laine de verre à l'intérieur de l'enceinte sans la bourrer on peut prendre un volume $V'_1=34 litres$. Le volume $V_2=12,4 litres$ doit lui être plein d'air pour éviter l'amortissement du passif. Le volume total de l'enceinte sera $V_1+V_2 \sim 46 litres$ soit , en gros un cube de $36 cm$ d'arête à l'intérieur. Et , si on prend de l'aggloméré de bois de $19 mm$ d'épaisseur, un cube de dimensions extérieures $40*40*40 cm$. Je laisse au lecteur le soin de calculer la position de la paroi intérieure en fonction des volumes.

On peut alors calculer le rendement maximum de l'enceinte qui a lieu pour $y=N=1,7$. Le numérateur du module de la fonction de transfert vaut $A_{22}C=1,6$, le dénominateur vaut $1,78$. Ce qui donne un rapport de $0,9$ et , en gros, un gain $G \sim -1 dB$, ce qui est, somme toute , convenable. Pour avoir la bande passante à $-3 dB$ il faut calculer les valeurs de $y$ qui doublent la valeur du terme sous le radical pour $y=1,7$. Ce qui donne:

$$(\frac{2,89}{y}+y-5,18)^2+10,37(\frac{1,7}{y}-1)^2=6,34$$

Après calculs on obtient:

$$y^4-10,36y^3+36,64y^2-65,2y+38,32=0$$

Equation du 4^ degré que l'on résoud avec un logiciel mathématique et on trouve deux solutions $y_1=1,02$ et $y_2=5,77$. N'oublions pas que $y$ est le carré de la fréquence normalisée, nous devons en prendre les racines carrées pour calculer les fréquences de coupure désirées. On trouve $f_1 \sim 42 Hertz$ et $f_2 \sim 100 Hertz$, soit un peu moins d'une octave et demie.

Ce type d'enceinte est un filtre passe-bande qui a l'avantage de limiter les débattements du haut-parleur et donc la distorsion. De plus la bande passante étant à peine supérieure à une octave les harmoniques de distorsion ne passent pas. Cette enceinte est particulièrement adaptée pour la reproduction du grave de la musique techno puisqu'elle joue le rôle d'un bourdon.