Etude du module de la fonction de transfert.

Le module de la fonction de transfert vaut:

$$\Vert\frac{\Phi _2}{EU}\Vert=\frac{\nu ^2A_{22}C}{\sqrt{[(M-\nu ^2)(N-\nu ^2)-A_{12}A_{22}C]^2 +4S_T^2\nu ^2(N-\nu ^2)^2}}$$

Comme dans cette expression seul le carré de la fréquence normalisée intervient nous poserons pour simplifier $\nu ^2=y$, ce qui donne:

$$\Vert\frac{\Phi _2}{EU}\Vert=\frac{yA_{22}C}{\sqrt{[(M-y)(N-y)-A_{12}A_{22}C]^2 +4S_T^2y(N-y)^2}}$$

Divisons numérateur et dénominateur par $y$ pour obtenir un numérateur constant:

$$\Vert\frac{\Phi _2}{EU}\Vert=\frac{A_{22}C}{\sqrt{[\frac{MN-A_{12}A_{22}C}{y}+y-(M+N)]^2 +4S_T^2y(\frac{N}{y}-1)^2 }}$$

Intéressons nous seulement au terme sous le radical du dénominateur que nous chercherons à rendre minimum. On condensera encore l'écriture en posant $P=MN-A_{12}A_{22}C$ et $L=M+N$ . On aura alors:

$$(\frac{P}{y}+y-L)^2+4S_T^2y(\frac{N}{y}-1)^2$$

Et en développant:

$$\frac{P^2}{y^2}+y^2+L^2+2P-2Ly-\frac{2PL}{y}+4S_T^2(\frac{N^2}{y}+y-2N)$$

Dérivons cette expression pour chercher l'extrémum:

$$-2\frac{P^2}{y^3}+2y-2L+2\frac{PL}{y^2}+4S_T^2-4S_T^2\frac{N^2}{y^2}$$

$$(4S_T^2-2L)+\frac{2}{y^2}(PL-2S_T^2N^2)+2y(1-\frac{P^2}{y^4})$$

L'annulation de cette dérivée peut sembler difficile, mais nous disposons de trois paramètres variables: les deux volumes et la fréquence de résonance du passif. On peut donc écrire trois relations qui annulent manifestement la dérivée sans se soucier si ce sont les seules. En effet dans la dernière relation écrite on a trois termes qui peuvent s'annuler et cela donne:

$$L=2S_T^2....P=N^2....y=N$$

$N$ étant le carré de la fréquence de résonance normalisée du passif dans l'enceinte de volume $V_2$ cela ne nous étonne pas tellement de trouver $y=N$ pour la résonance du système . Les deux autres relations permettront de calculer les divers paramètres une fois fixée la valeur de $N$. Connaissant les caractéristiques de l'actif et du passif nous avons vu que l'on avait la relation $A_{22}=\mu A_{12}$ avec $\mu=\frac{V_{2AS}}{V_{1AS}}$ ; il nous faut donc déterminer $A_{11}$,$A_{12}$ et $C$ avec les trois relations:

$$C(1+\mu A_{12})=N$$

$$1+A_{11}+A_{12}+C(1+\mu A_{12})=2S_T^2$$

$$(1+A_{11}+A_{12})(1+\mu A_{12})C-\mu A_{12}^2C=N^2$$

Comme ces équations n'ont rien de linéaires on peut s'attendre à des calculs compliqués que l'on ne pourra résoudre qu'à l'aide de logiciels de calcul de type "Mapple", "Mupad" ou "Mathematica". La deuxième équation montre que la somme du carré de la fréquence de résonance normalisée de l'actif dans les deux volumes et du carré de la fréquence de résonance normalisée du passif dans le volume $V_2$ est le double du carré de $S_T$. En se rappelant que pour le superwoofer à évent on avait une relation analogue on peut dans le cas présent égaler ces deux fréquences de résonance et écrire:

$$1+A_{11}+A_{12}=S_T^2$$

$$C(1+\mu A_{12})=S_T^2$$

$$S_T^4-\mu A_{12}^2=S_T^4$$

Hélas la dernière relation conduit à une impossibilité, cela ne marche pas. Il nous faudra donc faire les calculs en fixant une valeur de $N$ et chercher celle qui convient le mieux.