L'inversion

L'inversion est une tranformation géométrique un peu passée de mode, sans doute parce qu'elle n'est pas linéaire et qu'elle est donc délicate à traiter. Nous nous limiterons ici au seul cas dont nous aurons besoin par la suite ce qui simplifiera les choses. Nous nous plaçons d'abord dans le plan et pour repérer la position d'un point nous supposerons qu'il s'agit du plan complexe et qu'un point y est représenté par un nombre complexe $z$ qu'on appelle son affixe. Soit donc un point $M$ d'affixe $z$ et un point $M'$ d'affixe $z'$ : on dit que le point $M'$ est l'inverse du point $M$ dans l'inversion de pôle $O$ et de rapport $k$ si on peut écrire $z.z'=k$ (on remarquera que $k$ a les dimensions du carré d'une longueur). Nous nous intéresserons au seul cas de l'inverse d'une droite d'équation dans le plan complexe $z=a+jy$ où $a$ est une constante, cette droite est donc parallèle à l'axe des "imaginaires". Soit $z'=x'+jy'$ l'affixe du point $M'$, on peut écrire $(a+jy)(x'+jy')=k$ , soit en séparant les parties réelle et imaginaire $ax'-yy'=k$ et $yx'+ay'=0$ . De la seconde relation on tire $y=-ay'/x'$ que l'on reporte dans la première $ax'+ay'^2/x'=k$ soit si $x'\neq 0$ $a(x'^2+y'^2)=kx'$. Ce qui donne finalement $(x'^2+y'^2)-kx'/a=0$. On reconnaît là l'équation d'un cercle centré sur l'axe des $''x''$, passant par l'origine et de rayon $k/2a$. D'où le résultat important: l'inverse d'une droite ne passant par le pôle d'inversion est un cercle du plan du pôle et de la droite, passant par le pôle d'inversion et dont le centre est sur la perpendiculaire abaissée du pôle sur la droite. Le dessin montre un exemple de figure possible avec $k>0$.