Brouchier: Haut parleur, Hifi, Enceinte, etc.

Les figures de l’énoncé étant suffisamment claires ne seront pas reproduites dans le corrigé. Le lecteur est prié de garder l’énoncé sous les yeux. S’il croit déceler une erreur dans le corrigé il est prié de la signaler à l’auteur.(francis.brouchier@prepas.org)

I.A- Étude d’un écoulement modèle
I.A.1) L’écoulement est stationnaire et incompressible : il ne dépend pas du temps et la masse volumique μ du fluide est constante. L’équation de conservation de la masse permet d’écrire : div(μ) + ∂μ∕∂t = 0. Avec la remarque précédente il reste : div = 0. Si on complète le repère donné dans l’énoncé par un axe de vecteur unitaire la divergence s’écrit :

Les composantes u_y et u_z sont nulles il reste donc ∂u_x∕∂x = 0 d’où u_x indépendant de x.
Par définition :

On calcule aisément = ∂u∕∂z et (u²∕2) = u. Puis ∧ = -u. Comme est indépendant du temps on obtient

D∕Dt =
Pour la calcul du Laplacien vecteur on a :

I.A.2) En projection sur beaucoup de termes sont nuls, il vient : -∂p∕∂z -μg cosθ = 0. En fait le problème ne dépend pas de x et la dérivée partielle est une simple dérivée, en intégrant on obtient p = -μgz cosθ +Cste . Pour z = h p = p₀ d’où :

p = p₀ + μg(h - z)cosθ .

I.A.3) En projection sur l’équation de Navier-Stokes donne 0 = ηd²u∕dz² + μg sinθ d’où on tire :

I.A.4) En z = 0 le plan est immobile. Du fait de la viscosité la vitesse du fluide est égale à celle du plan, donc u(0) = 0 (analogie avec la couche limite).En négligeant la viscosité de l’air on peut admettre que l’air reste immobile et que u = . Par continuité à la surface du liquide, cette expression reste vraie et, en projection sur il vient :

I.A.5) Des conditions aux limites précédentes z = 0 u = 0 et z = h du∕dz = 0 A = g sinθh∕ν il vient :

I.A.6) Lorsqu’on parle d’un liquide la "profondeur" se mesure à partie de la surface vers le fond du liquide. Ici ce terme est inadéquat il aurait fallu dire "largeur" et cela a pu troubler les candidats. Le débit volumique élémentaire pour une épaisseur dz et une largeur b est dq = ubdz soit :

I.B- Application aux stalactites

I.B.1) Pour pouvoir remplacer b par 2πR(Z) il faut que le rayon soit assez grand pour pouvoir assimiler la stalactite à son plan tangent en ce point. Cela n’est plus possible à la pointe où le rayon est nul. L’expression de q(Z) n’est plus valable au voisinage de la pointe de la stalactite.
I.B.2) En régime permanent l’eau qui coule du haut de la stalactite se retrouve intégralement à la pointe. Pour mesurer le débit il suffit de mettre un récipient sous la pointe et de mesurer la quantité d’eau qui s’écoule pendant un temps donné.
I.B.3) Comme q est constant q = q₀ d’où :

I.B.4) Application numérique. Il faut d’abord transformer les grandeurs données en unités légales :

Avec les valeurs numériques de l’énoncé on obtient :

I.B.5) Par définition le nombre de Reynolds vaut R = u.h₀∕ν où u est la vitesse, h₀ une distance caractéristique et ν la viscosité cinématique. En prenant comme vitesse la valeur de u_m et pour la distance caractéristique la valeur de h₀ on trouve

R = 0,044 . Le nombre de Reynolds permet de caractériser le passage du régime laminaire au régime turbulent pour des valeurs comprises entre 2000 et 3000. Ici on est très nettement en dessous donc le régime est parfaitement laminaire.
I.B.6)

On retrouve bien le fait que le modèle n’est pas valable à la pointe de la stalactite où le rayon est nul.

II.A- Diffusion de CO₂ dans le film liquide et précipitation de C_aCO₃

II.A.1) On calcule l’ordre de grandeur du temps τ_L le plus petit en prenant L₀ = 10 cm et u_m = 10 mm∕s. On trouve

τ_L = L₀∕u_m = 10 s
L’espèce chimique diffuse sur une épaisseur h₀ avec un coefficient de diffusion D = 10^-5 cm²∕s. L’ordre de grandeur du temps de transit est :

D’où

τ_d << τ_L .
II.A.2) Le taux d’allongement est de 1 cm par siècle. Pour un allongement ΔL = h₀ le temps τ_h est :

On constate que τ_d est nettement plus faible que τ_h et que l’hypothèse de la stationnarité est valable.
II.A.3) La masse d’un disque de C_aCO₃ de 10 cm de rayon et de 1 cm d’épaisseur vaut 2,7.π.10^-2.10^-2 soit

8, 48.10^-4 kg . En fait la valeur de ρ_CaCO3 est nettement sous évaluée dans l’énoncé : un mètre cube de calcaire ne peut avoir une masse de 2, 7 kg ,sans quoi les égyptiens n’auraient eu aucun mal à construire les pyramides. Il doit s’agir de 2, 7.10³ kg.m^-3. Nous continuerons le problème avec la valeur donnée.
Pour avoir la masse de calcium il suffit de faire une règle de trois

masse de C_a = 3,4.10^-4 kg .
Avec R₀ = 10 cm , u_m = 10 mm∕s et h₀ = 10 μm, le débit de l’eau est de 2π.10^-1.10^-5.10^-2 = 6,28.10^-8 m³.s^-1. Comme un siècle vaut 3,15.10⁹ s la quantité d’eau qui a circulé est de l’ordre de 198 m³. La concentration des ions calcium est de 150 mg.L^-1 = 0,15 kg.m^-3. La masse totale des ions calcium qui ont circulé en un siècle avec la solution est donc de 0,15.198 ~ 300 kg. La masse de calcium déposée étant de 3,4.10^-4 kg avec les valeurs numériques de l’énoncé, la quasi totalité des ions calcium se retrouve dans l’eau qui s’égoutte. Les stalagmites ont donc une hauteur du même ordre de grandeur que les stalactites (un peu moins car la goutte qui arrive éclate en microgouttes et une faible partie s’écarte de la pointe).
Remarque Si on corrige la valeur de l’énoncé, on aurait comme masse des ions calcium 0,34 kg ce qui ne modifie pas le résultat précédent.
II.A.4) Si on désigne par c(z,t) la concentration de CO₂ dans la tranche d’épaisseur dz et de surface dS (soit de volume dS.dz), l’équation de la diffusion s’écrit :

On retrouve bien l’équation demandée avec

δ ~ 0,32 cm .
II.A.5) La solution générale de cette équation est la somme de la solution générale de l’équation sans second membre et d’une solution particulière de l’équation avec second membre( on peut prendre n = cste = n₀). L’équation sans second membre est classique et on obtient :

II.A.6) En z = 0 le volume est nul, il n’y a donc pas production de CO₂, soit ∂n∕∂z = 0. En exprimant cette condition il vient :

II.A.7)

La notation cosh(z) représente le cosinus hyperbolique de z soit :[exp(z) + exp(-z)]∕2.
II.A.8) La condition de l’énoncé est bien vérifiée puisque h ~ 10 μm et δ ~ 0,32 cm. Le nombre de molécules de C_a CO₃ déposées sur la stalactite est égal au nombre de molécules de CO₂ produites dans la tranche de surface dS et d’épaisseur h, en intégrant il vient :

En développant la tangente hyperbolique au premier ordre en h∕δ : tanh(h∕δ) ~ h∕δ il reste :

II.A.9) Pour un pH = 9 la valeur de σ est positive et le CO₂ s’échappe vers l’extérieur. Mais si le pH devient supérieur (en gros) à 9,3 σ devient négatif et le CO₂ de l’air de la grotte entre dans l’eau et va dissoudre le calcaire précédemment formé. Cela est du au fait que la réaction est réversible.

II.B- Croissance et forme de la stalactite
II.B.1) Soit δ²N le nombre de molécules déposées pendant le temps dt sur la surface dS. Le volume de ces molécules est :v_m.δ²N∕_a. L’épaisseur élémentaire déposée vaut δ²N∕dS et la vitesse de dépôt :

II.B.2) L’angle entre la vitesse perpendiculaire à la stalactite et la vitesse de déplacement vers le bas vaut θ.

II.B.3) L’énoncé suppose V _p constant. En exprimant les relations entre les grandeurs il vient :

En séparant les variables on obtient :

Le résultat trouvé ci-dessus n’est valable que dans l’hypothèse θ ≈ π∕2, donc seulement au début de la stalactite. On n’a pas le droit d’aller jusqu’à la pointe :

 

III.A-Bilans de masse
III.A.1)
a) La surface, en projection horizontale, qui reçoit la pluie a pour valeur dS = aLcosαdα . On en tire dD_m = Ψ_mdS = LaΨ_m cosαdα. On a enfin :

b) En α = 0 l’eau arrive perpendiculairement à la surface de la main courante, sa vitesse tangentielle est nulle donc

D_m = 0 .
c) dD_m = LaΨ_m cosαdα. En intégrant on obtient :

Le graphe de D_m ci-dessous comprend aussi la réponse à la question suivante :

III.A.2) Le dessous de la main courante ne reçoit plus d’eau. L’énoncé précise que l’eau s’écoule le long de la main courante et ne la quitte pas. Donc pour π∕2 < α < π on a D_m = D_m(π∕2) = LaΨ_m. Le graphe est sur la même figure qu’à la question précédente.
III.A.3) Sur la moitié de la main courante, la surface perpendiculaire à la pluie est L.a. Le débit total de la pluie est donc LaΨ_m qui s’écoule jusqu’à α = π

III.A-Bilans d’énergie
III.B.1) Si on néglige tout transfert thermique de l’eau vers l’extérieur, elle conserve sa température initiale, soit celle de la pluie :

T(α) = T_g . La main courante en bois peut être considérée comme un isolant thermique, donc pas d’échanges de chaleur avec l’eau qui ruisselle.
III.B.2) 0 < α < π∕2
a) A l’instant t la masse dm d’eau entrant sur la main courante dans le système indiqué est dm = D_m.dt. La masse d’eau provenant de la pluie est dm′ = LaΨ_m cosαdαdt. L’enthalpie totale du système fermé est constituée de l’enthalpie H constante du système ouvert et des apports extérieurs de l’eau qui arrive sur la main courante soit par ruissellement, soit par captation de la pluie, de sorte que :

b) A l’instant t + dt le système S^* est constitué de S et de l’eau qui est sortie de la main courante dont la masse vaut D_m (α + dα)dt. L’enthalpie totale du système vaut donc :

c) La variation d’enthalpie entre t et t + dt est égale à la quantité de chaleur échangée par le système avec le milieu extérieur dH^* = δ²Q.

On simplifie et on pose

β = h^cc∕cΨ_m et on obtient l’équation demandée.
d) Nous admettrons sommairement que en α = 0 dT∕dα = 0 . En dérivant l’équation précédente on obtient :

En α = 0 sinα = 0, la condition dT∕dα = 0 est inutile 0 * 0. En revanche cosα = 1 ce qui donne tous calculs faits :

La figure 8 donne diverses courbes T(α) fonction de α avec diverses valeurs du paramètre β. On constate que pour α = 0 toutes ces courbes passent par la température T_g = 274 K qui est celle de la pluie qui tombe. Pour obtenir ce résultat avec la formule précédente il faudrait β = 0 ce qui ne correspond pas au réseau de courbes, qui ne donne d’ailleurs pas les valeurs de β. Il y a manifestement une ambiguïté entre le modèle choisi et le réseau de courbes. En plus en α = 0 la pente de la tangente à la courbe est plus proche de l’infini que de 0 comme indiqué dans l’énoncé.
III.B.3)
a) L’équation donnée par l’énoncé peut s’écrire :

b) Pour obtenir de la glace, il faut T(α) = 273 K. Suivant la valeur de β pour 0 < α < π∕2 on ne peut pas atteindre cette valeur. La décroissance de T(α) se continue pour π∕2 < α < π . La zone la plus propice à la formation de glace est donc le dessous de la main courante.
c) Si on a une main courante en métal (bon conducteur de la chaleur) , avant la pluie elle est à la température de l’air extérieur inférieure à la température de solidification de l’eau. L’eau sur la main courante se refroidira plus vite. L’apparition de glace est donc favorisée, mais le modèle choisi n’est plus valable car il y a des échanges de chaleur entre l’eau et la main courante.

IV.A-Modèle conducto-convectif
IV.A.1) La température étant constante, la variation d’enthalpie du système est due uniquement à la solidification de l’eau qui fournit de la chaleur au milieu extérieur. Le volume de glace formé vaut π[R²(t + dt) - R²(t)]dZ d’où

dH = -2πμl_F R.dR.dZ
IV.A.2) La surface latérale du système vaut 2πRdZ, d’où

δQ = h^cc(T_a - T_f)2πRdZdt . Comme T_a < T_f cette quantité est négative.
IV.A.3) On écrit l’égalité entre dH et δQ :

IV.A.4) Sur la photo de droite, où l’on a une belle stalactite, la longueur L est de l’ordre de 40 mm et le rayon de base est de l’ordre de 1 mm. Le rapport L∕R et donc de l’ordre de 40. Si dL∕dt et dR∕dt avaient la même valeur, les vitesses de croissance seraient les mêmes et le rayon serait égal à la longueur, ce qui n’est pas le cas. La croissance axiale est plus rapide que la croissance latérale, ce qui confirme le résultat de la Partie III où v_⊥ < v_p.
IV.B-Effet de pointe
IV.B.1) L’équation de la chaleur pour la température peut s’écrire :

en supposant qu’il n’y a pas de sources de chaleur dans le milieu conducteur autre que la condition aux limites. En régime permanent le température est indépendante du temps et l’équation devient en coordonnées sphériques :

car le problème a la symétrie sphérique. En fait les dérivées partielles deviennent des dérivées de la seule variable r. Il vient alors :

Le potentiel créé par une charge ponctuelle q à la distance r en symétrie sphérique vaut V = q∕4πε₀r + Cste. C’est une simple fonction en 1∕r dont la dérivée première est -1∕r² et la dérivée seconde 2∕r³. On constate que cette fonction satisfait à l’équation différentielle de la chaleur. Donc T(r) = α + β∕r est solution de l’équation différentielle du problème.
IV.B.2)

IV.B.3) La densité de courant thermique vaut _th = -λT .Le flux du courant thermique est le flux Φ demandé. Φ = 4πa²j_th = 4πa².a(T_a - T_f)λ∕a² = 4πλa(T_a - T_f). on en tire la valeur de

G = 4πλa .
IV.B.4) La quantité de chaleur reçue algébriquement ( en fait cédée à l’air) sert à fabriquer de la glace. Le volume de glace formée en supposant que le rayon de la sphère varie de da est 4πa².da. La quantité de chaleur échangée est -μl_F .4πa².da = 2πλa(T_a -T_f)dt On peut considérer que l’allongement de la stalactite pendant dt est dL = 2.da soit :

Le rapport de cette vitesse d’allongement à celle calculée en IV.A vaut : λ∕a.h^cc. En prenant la valeur du rayon de la goutte donnée plus loin de 5 mm on trouve un rapport de 0,2, ce qui ne résoud pas le problème. Même avec un rayon de 1 mm on trouve la même vitesse d’allongement.
IV.B.5) Le champ électrique est l’opposé du gradient de la fonction potentiel. L’analogue thermique du champ électrique est le gradient de température.
IV.B.6) Pendant le temps dt l’anneau s’allonge de dL. Son volume est 2πaedL. La quantité de chaleur fournie à l’air vaut μl_F 2πaedL = 2πλa(T_f - T_a)dt . Ce qui donne

dL∕dt = λ(T_f - T_a)∕eμl_F Le facteur d’amplification par rapport au calcul du I.V.A vaut maintenant

λ∕eh^cc . Avec les valeurs numériques de l’énoncé on trouve un rapport de 12,5, ce qui n’est encore pas assez pour expliquer le résultat de la photo.

V.A-Interprétation de l’instabilité
V.A.1) Nous sommes en régime permanent, le flux thermique est constant. La seule variable est la distance à l’axe du cylindre r. Exprimons le flux du vecteur densité de courant thermique _thà travers la surface du cylindre de rayon r et de hauteur L et écrivons que j_th = -λdT∕dr :

En écrivant la dernière relation pour les valeurs T₁(r₁) et T₂(r₂) il vient :

V.A.2) Calculons r₁ et r₂ pour R_- en tenant compte que h est beaucoup plus petit que R_- :

Pour R_- et R₊ on a comme longueur une demie longueur d’onde spatiale soir Λ∕2, on obtient donc :

V.A.3)

La vitesse de formation de l’ondulation haute est supérieure à celle de l’ondulation basse, l’irrégularit&eacute; de la surface peut s’accentuer.
V.A.4) Pour R_- la surface S = πR_-Λ∕2. L’énergie potentielle de cette surface est πAR_-Λ∕2. Il en est de même pour R₊. Pour augmenter R₊ il faut fournir une énergie supérieure à celle pour augmenter R_-. Cela modère l’effet d’origine thermique qui doit fournir plus de chaleur pour augmenter R₊ que pour R_- .
E_p étant proportionnel à Λ cette modération est plus efficace pour les grandes valeurs de Λ.

V.B-Période spatiale des ondulations
V.B.1) ∂T∕∂t est la dérivée partielle de la température par rapport au temps, en régime permanent cette dérivée est nulle. .T est lié à la variation de température liée au déplacement de l’eau.
V.B.2) En prenant de petites variations le Laplacien de T peut s’écrire (T_a -T_f)∕h₀². Comme la vitesse est portée par OZ la composante du gradient est celle portée par OZ soit (T_a -T_f)∕Λ. En reportant ces valeurs dans la relation donnée il vient :

Λ = u_m.h₀²∕D_th
V.B.3) Application numérique :

Λ = 6,6 mm