Brouchier: Haut parleur, Hifi, Enceinte, etc.

1 Le champ électromagnétique dans le vide

1.1 Unités de ε₀ et μ₀

En partant de la formule donnant la capacité d’un condensateur plan dans le vide C = ε₀.S∕e, on voit que ε₀ s’exprime en Farad.m^-1.
De la même façon μ₀ s’exprime en Henry.m^-1.

1.2 Équations de Maxwell dans le vide

En l’absence de charges et de courants (ρ = 0 = ) sur les quatre équations de Maxwell, seules trois portent un deuxième nom du au physicien qui a découvert la loi intégrale dont elle est issue. En pratique on se contente de les numéroter suivant un usage constant :

1.3 Équation de propagation

On prend le rotationnel de l’équation (1) et la dérivée par rapport au temps de l’équation (4) et on élimine entre les deux :

On obtient l’équation de d’Alembert dans l’espace et la vitesse de propagation de l’onde est telle que

ε₀ .μ₀.c²  =  1

2 L’onde progressive unidirectionnelle dans le vide

2.1 Direction et sens de propagation

Cette onde ne dépend que de la variable d’espace x, elle se déplace donc le long de l’axe des x et dans le sens des x croissants. Avec la relation de Maxwell-Gauss on peut écrire ∂E_x∕∂x = 0, les autres termes étant nuls. E_x ne peut être que constant, or il dépend du temps et la constante ne peut être que nulle soit E₁   =  0.

2.2 Composantes de

ne dépendant que de x et E_x étant nul, on peut écrire :

En tenant compte que a la même forme mathématique que (fonction sinusoïdale du temps et de l’espace) et en projetant sur les axes et on a :

Les composantes de sont alors :

Comme = E_y. + E_z. le terme ∧ = E_y - E_z.
En comparant avec la relation précédente on constate que E_z∕c  =  B_y et E_y∕c  =  B_z.Cela revient à dire que l’on obtient en faisant une rotation de π∕2 dans le sens direct autour de Ox.

Cette onde est une onde plane progressive, longitudinale et monochromatique (fonction sinusoïdale du temps de pulsation fixe). L’auteur du corrigé se demande le sens de la question :"en préciser la signification physique ?". Aussi ne peut-il y répondre.

2.3 Vecteur de Poynting

Dans le vide, en présence de champs et le vecteur de Poynting est défini par la relation   =   ∧∕μ₀. Dans le cas présent ces deux vecteurs étant perpendiculaires et perpendiculaires à la direction de propagation on peut écrire :   =  .||||²∕μ₀.c.
Le flux du vecteur de Poynting à travers une surface interceptant cette onde représente la puissance instantanée à travers cette surface. Pour une onde monochromatique et sous incidence normale à travers une surface unité la valeur moyenne du carré d’une fonction sinusoïdale du temps étant la moitié du carré de sa valeur maximum on écrit :

3 Superposition de deux ondes monochromatiques et conditions d’interférences

3.1 Conditions d’obtention d’interférences

La première condition est que ces deux ondes aient la même pulsation (ou la même longueur d’onde). De plus il faut qu’en un point la différence de phase entre les deux signaux reste constante pour que la somme des cosinus ne varie pas dans le temps.

3.2 sources de lumière distinctes

L’émission de lumière par un atome se produit quant un électron passe d’un état d’énergie supérieur à un état inférieur. La fréquence produite étant telle que ΔW = h.ν. Cette émission ne peut durer un temps infini et elle est remplacée par l’émission d’un autre atome sans liaison de phase avec le premier. Ainsi deux sources distinctes ne peuvent émettre deux ondes monochromatiques ayant une relation de phase entre elles.

3.3 Réalisation pratique

Pour avoir deux ondes avec une relation de phase constante il faut partir d’une seule source et en obtenir deux images en optique géométrique. Mais il faut que les trajets optiques ne soient pas trop différents sans quoi l’émission d’un atome peut se superposer à celle d’un autre atome et ne plus donner d’interférences : c’est la longueur de cohérence.

3.4 Familles de systèmes interférentiels

A partir d’une même source lumineuse il faut obtenir deux ondes ayant une relation de phase constante entre elles. On peut y arriver de deux façons :
soit par division d’amplitude à l’aide d’un miroir semi-réfléchissant, qui réfléchit, en gros, la moitié de la lumière et en laisse passer l’autre moitié. Dans cette famille on trouve l’interféromètre de Michelson et Morley rendu célèbre par sa tentative de mettre en évidence la course de la Terre autour du Soleil et dont l’insuccès a conduit à la théorie de la relativité restreinte d’Einstein (On oublie trop souvent qu’il existait la théorie de la relativité restreinte de Galilée pour les lois de la mécanique). L’interféromètre de Mach-Zehnder (objet du problème) et l’interféromètre de Sagnac prolongent une liste non exhaustive.
soit par division du front d’onde qui ont donné lieu aux premières réalisations expérimentales mettant en évidence le caractère sinusoïdal des ondes lumineuses : les fentes d’Young, les miroirs de Fresnel , le biprisme de Fresnel et la bilentille de Billet.

3.5 Relation entre éclairement et amplitude

On a vu, plus haut, que pour une onde monochromatique on pouvait écrire :

₀  =  E₀²∕2μ₀.c .
Les deux ondes considérées ont la même polarisation et la même amplitude E₀. La seule chose que l’énoncé ne dit pas est qu’elles ont un déphasage constant que nous désignerons par Φ (comme cela est précisé plus loin). Ainsi l’éclairement total vaut

  =  2.₀.(1 + cosΦ) .

4 Dispositif interférentiel

4.1

La source S placée au foyer objet d’une lentille convergente fournit ,après traversée de la lentille, une onde plane. Cette onde est divisée en deux ondes égales par (SP₁), se réfléchissent sur (M₁) et (M₂) et s’ajoutent sur (SP₂). Si on admet que les trajets de ces ondes ont rigoureusement la même longueur (selon la figure) après (SP₂) ces ondes sont en phase et l’éclairement de l’écran vaut

4.₀ . La tache lumineuse sur l’écran est donc brillante.

4.2 Lames à faces parallèles

4.2.1

Sur le parcours de (M₁) à (SP₂) la différence de marche supplémentaire introduite par (L₁) vaut

δ₁   =  e.(n - 1)

4.2.2

L’angle de réfraction dans la lame est tel que sinθ = n.sinθ′. Le chemin optique (A′B′) = n.A′B′ = n.e∕cosθ′ . Au troisième ordre près en θ on peut écrire θ  ~ nθ′ et cosθ′  ~  (1 - θ′²∕2)  ~  (1  -  θ²∕(2.n²)). En faisant les calculs au second ordre près en θ on obtient

(A′B′)  =  n.e.(1  +  θ²∕(2.n²)) .
Par ailleurs A′H′ = A′B′.cos(θ-θ′) = A′B′.[cosθ.cosθ′ + sinθ.sinθ′] ~ A′B′[(1 -θ²∕2)(1 -θ²∕2n²) + θ.θ∕n]. Soit en simplifiant

A′H′  ~  e.(1  -  θ²∕2  +  θ²∕n) .
(A′B′) est le chemin optique parcouru dans la lame, A′H′ est le chemin optique qui serait parcouru dans l’air si la lame n’existait pas. La différence de marche supplémentaire vaut donc

δ₂   ~  e.(n  -  1   -  θ²∕2.n  +  θ²∕2) soit δ₂ ~ e(n - 1) + e.θ².(1∕2 - 1∕2.n).

4.2.3

Le déphasage Φ des faisceaux au niveau de l’écran vaut 2π.(δ₂ - δ₁)∕λ soit

Φ  =  2.π.e.θ²(1∕2 - 1∕2.n)∕λ .
Le déphasage Φ ne dépend que de θ² et de constantes. Quand Φ est un multiple entier de 2.π l’éclairement de l’écran est maximal cosΦ = 1, quand Φ est de la forme (2.k + 1).π cosΦ = -1 et l’éclairement est nul.

4.3 Valeur de θ

4.3.1

On a vu qu’on a un maximum de brillance pour Φ  =  k.2.π, donc :

Avec les valeurs numériques de l’énoncé on obtient :

θ₁  =  0,0612 rad  =  3,505 degré

4.3.2

L’épaisseur de la lame apparaît au dénominateur de la valeur de θ. Pour gagner en sensibilité sur θ il faut donc diminuer e.

4.3.3 Épaisseur maximale de la lame

La longueur de cohérence de la source est la longueur pendant laquelle la source conserve une phase constante. Pour obtenir des interférences il faut donc éviter que la différence de marche entre les deux ondes issues de la même source soit supérieure à cette longueur. On devra donc avoir δ₂ - δ₁ < l_c soit pour k = 1 e.θ² .(1∕2 - 1∕2.n) < l_c. On doit donc avoir :

Cette valeur semble relativement élevée car le déphasage Φ augmente avec l’épaisseur de la lame. Pour obtenir de bons résultats il vaut mieux prendre une valeur beaucoup plus faible de l’ordre de 10 mm.

4.4 Source polychromatique

Quand le déphasage Φ = (2.k + 1)π l’éclairement sur l’écran est nul, la longueur d’onde correspondante est absente. L’épaisseur de la lame, l’angle θ et l’indice ne changent pas, pour λ₁ = 632,8 nm Φ = 2.π, donc la constante e.θ².(1∕2 - 1∕2.n) = λ₁. La condition pour avoir un éclairement nul s’écrit alors : (2.k + 1)π = 2.π.λ₁∕λ soit λ = 2.λ₁∕(2.k + 1). On essaie les valeurs entières successives de k : k = 0 λ = 1265,6 nm, en dehors du domaine de la lumière blanche ; k = 1 λ = 421,9 nm et k = 2 λ = 253,1 nm en dehors du domaine.
La couleur obtenue sur l’écran est appelée la teinte sensible.

5 Lame à indice variable

5.1 Orientation du gradient

n′ ne dépend que de y son gradient est le vecteur tel que = ∂n′∕∂y = -γ.. Le gradient de l’indice est donc orienté dans le sens des y décroissants.

5.2

La différence de marche pour le seul rayon atteignant la lame (L₃) vaut

δ₃ = e.(n′- 1) = e.(n - 1 - γy)

5.3 tracé du rayon traversant (L₃)

L’ordonnée Y = ΩM du point d’impact du rayons sur l’écran sera justement y.

5.4 Différence de marche globale δ

La différence de marche globale entre les deux rayons vaut δ₃ - δ₁ soit

δ  =   - e.γ.y

5.5 interférences sur l’écran

La différence de marche est fonction de y, le déphasage entre les deux ondes sera Φ = 2.π.δ∕λ = -2.π.e.γ.y∕λ. Il y aura donc des interférences lumineuses parallèles à l’axe de z. Les franges brillantes seront telles que Φ = 2.k.π = -2.π.eγ.y∕λ soit

y  =   - k.λ∕e.γ . La valeur absolue de l’interfrange est alors de

i  =  λ∕e.γ .
Avec les valeurs numériques de l’énoncé on trouve i = 546.10^-9∕10.10^-3 = 5,46.10^-5 m =  54,6 μm.