Brouchier: Haut parleur, Hifi, Enceinte, etc.

1 Introduction

Le modèle de la sphère pulsante utilisé au chapitre 4 du livre "Haut-parleurs et enceintes acoustiques,Théorie et pratique" a des limites que nous avons bien précisées. En particulier dans des salles dont les dimensions sont de l’ordre de grandeur de la longueur d’onde à reproduire ce modèle est inopérant. Rappelons qu’à 100 Hertz la longueur d’onde du son dans l’air est de 3,40 mètres et à 20 Hertz de 17 mètres. Le modèle de la sphère pulsante n’a aucune chance d’être valable dans ce cas.

On va donc prendre un autre modèle limite en supposant qu’il n’y a pas de propagation dans ce milieu et que la pression sonore est la même partout. Dans les voitures particulières ces conditions sont assez bien réunies, en tout cas bien mieux que le milieu infini. Nous supposerons donc que le haut-parleur est placé entre deux enceintes de volumes V ₁ et V ₂ (avec V ₁ ≪ V ₂ par exemple, le premier étant le volume de charge et le second le volume d’écoute). Ces volumes sont supposés constants, c’est à dire que les parois sont parfaitement rigides. Quand on passe à côté d’une voiture dont le caisson de grave est à fond on voit (ou plutôt on entend) que cette hypothèse est assez limite. Mais il ne faut pas compliquer inutilement le modèle pour éviter des calculs inextricables.

A ces fréquences très basses le modèle du haut-parleur linéaire avec une membrane se déplaçant d’un bloc est tout à fait valable. On prendra donc comme caractéristiques du haut-parleur :

M la masse de la membrane (comme il n’y a pas de propagation, il n’y a pas de masse de rayonnement)

k la raideur de la suspension

Σ la surface vibrante de la membrane

Bl le facteur de force de la bobine mobile

R la résistance de la bobine mobile

h le coefficient de frottement fluide de la bobine dans l’entrefer

Comme d’habitude nous désignerons par x le déplacement de la membrane de la culasse vers l’avant (ici de V ₁ vers V ₂ où se trouve l’auditeur).

2 Mise en équation

Commençons par étudier les forces de pression exercées sur la membrane par suite de son déplacement. Celui-ci étant très rapide on peut considérer que les transformations subies par l’air sont adiabatiques et réversibles. En désignant par P le pression, V le volume et γ le rapport des chaleurs massiques à pression et à volume constant du gaz on peut écrire : P.V ^γ = Cste. Soit ΔP la petite variation de pression et ΔV le petite variation de volume, en différenciant logarithmiquement on a

La force exercée sur la membrane est : ΣΔP = -γΔV Pour le volume V ₁ ΔV ₁ = Σ.x ; pour le volume V ₂ ΔV ₂ = -Σ.x en négligeant toute autre variation de volume due aux parois.

La force de pression du côté de V ₁ orientée de V ₁ versV ₂ est alors f₁ = -γ.x et pour V ₂ f₂ = -γ.x (la pression est dirigée de V ₂ vers V ₁)

L’équation différentielle du mouvement de la membrane s’écrit donc :

Pour simplifier l’expression on peut poser :

Du point de vue électrique c’est la tension u aux bornes du haut-parleur qui est la grandeur d’entrée et non le courant. De plus aux très basses fréquences l’inductance propre de la bobine mobile est négligeable de sorte que l’on peut écrire :

L’équation différentielle devient alors :

Posons comme d’habitude :

En divisant les deux membres par M il vient :

3 Étude en régime sinusoïdal permanent

En régime sinusoïdal permanent il est commode de passer en amplitudes complexes : au déplacement x on fait correspondre l’amplitude complexe X, à la tension u on fait correspondre l’amplitude complexe U . La dérivation par rapport au temps d’une fonction sinusoïdale du temps revient à multiplier par jω son amplitude complexe dans le domaine complexe.L’équation différentielle devient alors une équation algébrique plus facile à étudier.

Aux fréquences basses ω ≪ ω₀ et pour un S_T pas trop grand (un haut-parleur de qualité médiocre suffira, ce n’est pas la peine de dépenser plus) on peut ne conserver que le dernier terme et écrire :

L’amplitude complexe P₂ crée dans V ₂ est alors :

D’où enfin :

4 Exemples numériques

Pour fixer les idées prenons un haut-parleur standard de 21 cm. Sa fréquence de résonance est de l’ordre de 50 Hertz. Le volume équivalent à la raideur de la suspension est de 56 Litres. Fixons arbitrairement le volume V ₁ = 14 Litres pour avoir une fréquence supérieure à 100 Hertz. Prenons un volume V ₂ de l’ordre de 3 m³. Le produit γ.P sera pris voisin de 1,4.10⁵. La surface de la membrane d’un tel haut-parleur est en gros 200 cm². La valeur de k′ est alors :

Avec un k voisin de 1000 cela donne A = 4. Un produit Bl de 6 T.m est fréquent sur ce type de transducteur. On peut admettre qu’il s’agit d’un haut-parleur de voiture dont l’impédance normalisée est de 4 Ohms. Il faut donc l’attaquer avec une tension efficace de 2 V olts pour obtenir 1 Watt. Sa résistance ohmique sera prise égale à 3,4 Ohms. Tous calculs faits on trouve une pression efficace de 0, 66 Pascals.

Sachant que la référence 0 dBA est de 2.10^-5 Pascals, le nombre de décibels que supporte notre oreille est de

Si on admet une puissance supportée de 100 Watts on aboutit à un niveau sonore de 110 dBA, ce qui est énorme.

A de tels niveaux sonores on devient rapidement sourd et c’est là un grave problème de santé publique que les règlements en vigueur ne permettent pas de résoudre car ils ne sont pas appliqués. Cela fait malgré tout le bonheur des fabricants de prothèses auditives qui auront à appareiller cette population inconséquente.

On trouve souvent dans les voitures des haut-parleurs de 38 cm pour la reproduction des graves. Prenons l’exemple du MAGNAT Xpress 1500 : Bl = 13 T.m, k = 4250 N.m^-1, V _AS ~ 200 Litres, Σ = 7,7.10^-2 m², R = 3,2 Ohms. Avec un volume V ₁ de 40 Litres et un volume V ₂ de 3 m³ on a un A ~ 5. L’impédance nominale étant de 4 Ohms il faut appliquer 2 V olts pour 1 Watt.

La pression sonore est alors de 1,14 Pascals ce qui correspond à un niveau sonore de N = 95 dBA. Ce haut-parleur peut encaisser 150 Watts soit 22 dBA de plus et les oreilles supportent 117 dBA. Bonjour les dégâts !

Il faut bien se persuader que les atteintes auditives sont irréversibles et qu’une surdité totale peut survenir en cas d’exposition prolongée à des niveaux sonores élevés. Avant la fabrication d’amplificateurs puissants, certaines professions étaient particulièrement exposées à des bruits intenses, en particulier les chaudronniers qui étaient tous atteints de surdité professionnelle. Actuellement on dispose de protection pour les oreilles qui sont efficaces et il faut les utiliser chaque fois qu’on utilise un appareil bruyant comme une tronçonneuse ou une tondeuse à gazon.

5 Théorie de fonctionnement des écouteurs électrodynamiques

Le calcul précédent peut s’appliquer au fonctionnement des écouteurs électrodynamiques qui sont constitués principalement d’un petit haut-parleur avec une coque et un volume réduit du côté de l’oreille. Nous venons de voir que dans ce cas il n’y a plus propagation et que la pression sonore est proportionnelle au déplacement de la membrane du haut-parleur.

Pour avoir un ordre d’idée nous utiliserons un haut-parleur AUDAX de 5 cm de diamètre, avec un B.l ~  0,1 T.m et une raideur k ~  8000 N.m^-1. La masse de l’équipage mobile est voisine de 2 g soit une fréquence de résonance à l’air libre de 320 Hertz. La résistance ohmique est de 6 Ohms.

La surface de la membrane sera prise égale à 20 cm². Du côté de l’aimant l’épaisseur du haut-parleur est de 2,5 cm ce qui nous oblige à prendre un volume V ₁  =  50 cm³. Du côté de l’oreille une épaisseur de 1 cm suffit et donne un volume V ₂  =  20 cm³. Calculons la valeur de A avec la formule donnée plus haut. Tous calculs faits on trouve A  =  5,3 en prenant garde d’utiliser le système légal d’unités.

Il ne reste plus qu’à calculer la pression efficace en fonction de la tension efficace aux bornes du haut-parleur :

Avec les valeurs numériques précédentes on trouve :

On a vu que pour obtenir 94 dB il fallait un Pascal efficace, soit ici une tension efficace de 0,22 V olts qui correspond à une puissance d’environ 6 mW. Les écouteurs sont encore plus dangereux pour les oreilles si on ne ménage pas le niveau sonore.

Actuellement de nombreux écouteurs utilisent l’effet piézoélectrique, mais la conclusion précédente reste valable.