Brouchier: Haut parleur, Hifi, Enceinte, etc.

Pour ne pas surcharger le corrigé les figures de l’énoncé ne sont pas reproduites. Le lecteur devra suivre avec l’énoncé à côté

1 Collisions sans perte d’énergie : le modèle de Hertz.

La formule donnée à la page 2 pose un problème dès le départ. Si F_de est la force exercée sur le disque de diamètre a, la pression qui est le rapport de la force à la surface devrait s’écrire : P = F_de∕S avec S = π.a²∕4 soit P = 4.F_de∕π.a². C’est cette formule que nous utiliserons dans la suite du problème, ce qui introduit un facteur 16 dans certains résultats.
On peut noter que dans l’étude des solides élastiques on ne se sert pas du mot "pression" mais du terme "contrainte longitudinale" représentée par la lettre "σ" suivant les conventions de l’A.F.N.O.R.Le module d’Young, ou module d’élasticité, est représenté par le lettre E et l’allongement relatif (ou contraction relative) par la lettre ε. Pour ne pas compliquer les choses nous conserverons les notations de l’énoncé.
Par ailleurs la formule issue de la loi de Hooke est donnée sans explications et une formule issue d’un modèle simplifié ne donne pas le même résultat. Il sera développé en annexe à la fin du corrigé. Pour faire le problème nous utiliserons la formule de l’énoncé.

-1 δ et a sont des longueurs, leur rapport est sans dimension, ϵ a donc les dimensions de P et s’exprime en Pascals. L’application numérique de la question 9 le précise bien.

Dans un triangle rectangle la hauteur est moyenne proportionnelle entre les deux segments qu’elle détermine sur l’hypoténuse de sorte que :

On néglige δ∕2.R devant 1 et il reste a² = 4.2.R.δ soit

-2 Nous utiliserons dorénavant la formule corrigée de la pression de sorte que : 4.F_de∕π.a² = ε.δ∕a soit :

La différentielle de l’énergie potentielle est égale au produit de la force par le déplacement élémentaire dδ : dE_p = F_de.dδ = π.ε.δ^3∕2.dδ∕2. On intègre entre 0 et δ :

-3 D’après la figure x₂ -x₁ = 2.R - 2δ. Avant le choc les billes ont des vitesses opposées . Au moment du choc cette relation se conserve par symétrie, d’où :

-4 L’énergie mécanique totale est la somme de l’énergie mécanique due au choc et de l’énergie cinétique des deux billes :

Remarque : cette formule est fausse, car comme le fait remarquer fort justement Bruno MORVAN, il y a deux forces F_de qui travaillent et on devrait écrire E_m = 2.E_p + m.δ′². Si on fait cela la formule donnée dans l’énoncé à la question 14 est elle-même fausse. Il y a là une autre ambiguïté, car il devrait y avoir un facteur 32 au lieu de 16. Nous continuerons malgré tout le problème avec la formule fausse ci-dessus.

-5 Le contact des billes sur la surface (S) se fait sans frottement. Les forces extérieures agissant sur le système constitué par les deux billes sont nulles.Il y a donc conservation de la quantité de mouvement avant et après le choc pour le système : m.

+ m.

=

= -

-6 Comme la collision est sans perte d’énergie, on retrouve après la choc la même énergie cinétique qu’avant le choc :

-7 A la fin de la collision pour δ = δ_m les deux billes sont immobiles et leur énergie cinétique est nulle. La conservation de l’énergie implique que l’énergie potentielle en fin de choc soit égale à l’énergie cinétique avant le choc (pas de perte d’énergie) :

On en tire :

u_m est indépendant de R.

-8 On exprime que, pendant le choc "aller" l’énergie mécanique se conserve :

Pour faire apparaître l’intégrale de l’énoncé on pose :

A la question précédente on avait trouvé :

Pour calculer le temps du choc il faut doubler le temps du choc pour aller de 0 à δ_m. Ainsi :

Quand on intègre δ de 0 à δ_m on intègre sur u de 0 à 1 d’où il vient :

En revenant à l’expression de δ_m vue plus haut on trouve :

-9 Comme l’application numérique donne la valeur de ρ_b, il est plus commode de prendre l’expression de δ_m contenant ce paramètre.De plus on avait vu que δ_m∕R était indépendant de R on peut donc commencer par le calcul de u_m :

Tous calculs faits on trouve : u_m = 4,092.10^-3
En reprenant l’expression de τ vue plus haut :

Pour R = 1,00.10^-4 m on trouve τ = 12.10^-7 s et pour R = 1,00.10^-3 m on trouve τ = 12.10^-6 s. L’intégrale est sans dimension puisque u = δ∕δ_m, le temps τ contient en facteur avec dimension δ_m∕v : une longueur divisée par une vitesse donne bien un temps.

 

2 Collisions avec perte d’énergie

-10 Le système des deux bille étant considéré comme isolé (pas de forces extérieures),il y a conservation de la quantité de mouvement avant et après le choc car les forces intérieures n’interviennent pas.

-11 Quantité de mouvement avant le choc : m.v₁ + m.v₂. Après le choc : m.w₁ + m.w₂.Compte tenue de la définition du coefficient de restitution on obtient les deux équations :

dont les solutions sont :

Avant le choc l’énergie cinétique vaut :E_c = m.(v₁² + v₂²). Après le choc elle vaut : E′_c = m.(w₁² + w₂²). La perte d’énergie vaut donc :ΔE_c = E_c - E′_c pour avoir une valeur positive.Tous calculs faits on obtient :

-12 Avec v₁ = -v₂ = v l’expression précédente devient :

-13 δ′ est la dérivée d’une longueur par rapport au temps, quand on divise par une longueur ∂δ on obtient l’inverse d’un temps. La constante A est donc un temps.On reprend l’expression de F_de trouvée à la question 2 F_de = π.ε..δ^3∕2∕2 et on dérive par rapport à δ pour avoir l’expression de l’énergie dissipée :

-14 L’énergie initiale vaut m.v², l’énergie lors du choc est π.ε..δ^5∕2∕5 + m.δ′² + U_d. Si on néglige U_d devant les autres termes on retombe sur le calcul de la question 8 et on obtient :

en corrigeant l’erreur d’énoncé du départ.On avait vu à la question 7 que δ_m^5∕2 = 5.m.v²∕(π.ε.) de la sorte :

-15 En reportant cette expression dans l’intégrale donnant U_d et en posant δ = y.δ_m puis dδ = δ_m.dy il vient :

De l’expression de δ_m on constate qu’elle est proportionnelle à v^4∕5, en élevant à la puissance 3∕2 cela fait v^6∕5 et en multipliant par v on obtient v^11∕5. La valeur de β recherchée est donc 11∕5

-16  On suppose e voisin de 1 et on écrit 1 - e = B.v^1∕5 petit devant 1. Alors e = 1 - B.v^1∕5 et e² ≈ 1 - 2.B.v^1∕5 On a vu que

On retrouve bien β = 11∕5

-17  Aux faibles vitesses le choc déforme peu le réseau cristallin des billes qui peut revenir dans son état initial sans créer beaucoup de chaleur. Une déformation plus importante provoque un dérangement erratique des particules donnant naissance à de l’énergie calorifique.
Le coefficient de restitution est une propriété des particules élémentaires constituant les billes.

 

3 Le transport éolien du sable :Le modèle d’Anderson.

-18  A l’instant t le volume de la tranche de hauteur h, de largeur L et d’épaisseur δx vaut L.h.δx. Sa masse dm est donc ρ.L.h.δx. De même, à l’instant t + dt la masse devient dm′ = ρ.L.(h + dh).δx.En désignant par Q(x, t) la masse de grains transportée à l’abscisse x et à l’instant t par unité de temps et par unité de largeur, on peut écrire pour la tranche d’épaisseur δx : dm” = L.δx.dt.∂Q∕∂x. La conservation de la masse donne :

D’où, après simplifications :

-19  D’après l’énoncé le flux des grains en saltation Q_s(x,t)est constant et uniforme. Par ailleurs Q(x, t) = Q_r(x,t) + Q_s(x,t) de sorte que ∂Q_s∕∂x = 0 et en reportant dans l’équation précédente on obtient :

-20  La hauteur au dessus du sol de la face supérieure du prisme de volume dμ vaut v.dt.sinα de sorte que dμ = S.v.sinα.dt. Alors dN = n.S.v.sinα.dt = N₀.S.dt. Ce qui donne :

Pour le lit qui fait l’angle θ avec l’horizontale il faut faire un dessin pour bien voir ce qui se passe :

Dans un triangle quelconque les côtés sont proportionnels aux sinus des angles opposés,d’où :

Le nombre de grains en saltation entrant en collision avec le lit entre t et t + dt s’écrit dN′ = N_s.S′.dt il est le même que celui qui entrerait en collision avec la surface S s’il n’y avait pas le lit. On a donc N_s.S′ = N₀.S. Avec la relation trigonométrique on peut calculer la relation entre S et S′ :

Finalement on obtient :

-21  D’après la figure 5 à l’instant t on a :

-22  Il suffit de remplacer N_e(x,t) par n₀.N_s(x,t) dans l’équation de la question 19 :

-23  On remplace tanθ par ∂h∕∂x et on sort le tanα du crochet ce qui donne bien :

-24  Si h(x,t) = h₀ = cste alors ∂h∕∂t = 0 et ∂h∕∂x = 0 l’équation précédente se réduit à :

Ce qui implique que θ = 0 soit cosθ ≈ 1

-25  Avec cette dernière valeur on obtient ;

En posant c₀ = m.n₀.N₀∕ρ on obtient l’équation :

Le terme entre crochets est sans dimension (rapport de deux longueurs), c₀ a donc la dimension de ∂h∕∂t soit une vitesse en m.s^-1.

-26  On calcule les dérivées de h par rapport à x et à t et on reporte dans l’équation ci-dessus :

En séparant les parties réelles et imaginaires il vient :

-27  Pour que la solution soit stable il ne faut pas qu’elle tende vers l’infini quand t tend vers l’infini donc que exp(γt) ne tende pas vers l’infini, ce qui implique γ < 0.ω qui est une pulsation est, a priori, positif, ce qui implique k > 0. Pour que γ soit négatif il faut donc sinkl_r < 0. Comme le sinus passe par des valeurs positives et négatives on peut avoir l_r > 0 avec sinkl_r < 0.

-28  Par définition :

on en tire donc :

-29  De l’expression précédente de v_φ on peut écrire :

La vitesse de phase est solution d’une équation implicite contenant ω elle est donc fonction de ω. Le sable est donc un milieu dispersif.

 

ANNEXE : Autre calcul de F_de

 

Rappel sur la loi empirique de Hooke

Robert Hooke, physicien et astronome anglais (1635-1703) proposa cette loi empirique. Sa formulation mathématique a été faite par Thomas Young,physicien anglais(1773-1829) qui a introduit le module qui porte son nom : E pour les francophones (module d’élasticit&eacute;),Y pour les anglophones (module d’Young).
Considérons une tige de section S telle que soit faible devant la longueur à vide l₀. Fixons une extrémité de la tige et poussons sur l’autre avec une force F. Si cette force n’est pas trop grande la tige raccourcit légèrement et de façon réversible : en annulant la force la tige reprend sa longueur à vide. Le modèle le plus simple est le modèle linéaire : le raccourcissement relatif est une fonction linéaire de la force appliquée.

On peut donc écrire :

F∕S est la contrainte longitudinale qui se représente selon l’A.F.N.O.R. par le lettre σ. Le Δl∕l₀ est représenté par la lettre ε. E est le module d’Young : l’énoncé utilise ε ce qui est contraire à la norme.

 

Modélisation pour le calcul de F_de

Pour des raisons évidentes de lisibilité, l’échelle horizontale du dessin n’a pas été respectée. En effet dans un cercle, quand l’arc et la corde sont des infiniment petits du premier ordre, la flèche est un infiniment petit du second ordre.
Lors du choc le problème possède la symétrie de révolution autour de l’axe de la ligne des centres que nous choisirons comme axe des x. Nous faisons le calcul pour une bille et prenons comme élément différentiel un tube cylindrique de révolution de rayon y et d’épaisseur dy. D’après la remarque ci-dessus on peut considérer que sa longueur à vide vaut 2.R au second ordre près.
L’origine des axes est le centre de la bille, l’extrémité; droite du tube est à l’abscisse x avant le choc. La position de la surface de contact pendant le choc est à l’abscisse X. L’équation générale du cercle est : x² + y² = R², calculons alors X et x en tenant compte du fait que a et y sont des infiniment petits du premier ordre par rapport à R :

Le raccourcissement du tube entre le début et la fin du choc vaut :

La contrainte longitudinale a donc pour valeur :

Avec la relation entre R,δ et a :

Si on veut calculer la contrainte moyenne qui, de toute façon,n’est nécessaire pour la suite du calcul , la surface S = πa²∕4 on obtient :

Ce qui est assez loin de la formule de l’énoncé. La loi de Hooke est une loi statique et ce calcul a été fait dans cette hypothèse.

La théorie de Hertz (bien plus compliquée que ci-dessus) peut être consultée à l’adresse suivante : http ://agregb1.dgm.ens-cachan.fr/Documents/TheorieTP/files/Contact.pdf