Brouchier: Haut parleur, Hifi, Enceinte, etc.

1 Introduction.

Le haut-parleur électrodynamique est le moyen de reproduction sonore le plus utilisé actuellement. La mesure de ses paramètres pour la mise au point d’une enceinte acoustique est fondamentale. Il est bien évident qu’une telle mesure ne doit pas détruire le transducteur et qu’on ne peut opérer qu’à l’aide d’un modèle décrivant son fonctionnement.
Pour simplifier nous nous placerons en régime sinusoïdal permanent dans le domaine des amplitudes complexes où les équations différentielles linéaires sont remplacées par des équations algébriques. De plus nous nous mettrons dans le domaine des très basse fréquences (en gros en dessous de 200 Hz) où nous pourrons négliger l’inductance propre de la bobine devant sa résistance R.

2 Le haut-parleur en enceinte close.

Le haut-parleur seul ne peut pas rayonner aux très basses fréquences car la surpression vers l’avant est compensée par une dépression de l’arrière. Pour séparer les deux ondes on met le haut-parleur dans une enceinte close qui sépare l’onde arrière de l’onde avant. De plus aux très basses fréquences les dimensions de l’enceinte sont très inférieures à la longueur d’onde du son émis(à 100 Hz λ = 3,40 m), on pourra donc admettre que la surpression à l’intérieur de l’enceinte est la même partout car il n’y a pas de propagation.
On suppose que la transformation subie par l’air à l’intérieur de l’enceinte est adiabatique (mouvements des particules très rapides empêchant tout échange avec l’extérieur). En désignant par Σ la surface de la membrane du haut-parleur qui joue le rôle d’un piston, le volume intérieur est équivalent à un ressort de raideur k′ = γ.P₀.Σ²∕V où V est le volume intérieur de l’enceinte et P₀ la pression atmosphérique.
En électronique analogique les mesures les plus faciles à faire sont les mesures d’impédances en courant alternatif sinusoïdal.
Le haut-parleur électrodynamique est un oscillateur linéaire caractérisé par la masse M de l’équipage mobile, la raideur k de la suspension, le produit Bl du champ magnétique dans l’entrefer par la longueur du fil de la bobine mobile et le terme h caractérisant une force de frottement fluide en -h.dx∕dt. Toutes ces grandeurs seront par la suite supposées constantes, bien qu’une expérience plus fine peut montrer des variations.
On définit la pulsation de résonance du haut-parleur seul par ω₀² = k∕M et la fréquence de résonance f₀ = ω₀∕2.π correspondante.Pour l’enceinte close il faut rajouter la raideur ramenée par l’enceinte et on définit ω₀ ^′2 = (k + k′)∕M et une grandeur caractérisant l’acuité de la résonance mécanique Q′_MS = M.ω′₀∕h. L’impédance du haut-parleur en enceinte close peut alors s’écrire :

On constate que pour f = f′₀ Z′_m = R + B²l²∕h, l’impédance est alors réelle et son argument est nul. Sur l’écran d’un oscilloscope en X Y où X représente le courant et Y la tension on obtient une droite de LISSAJOUS.
On recherche ensuite les fréquences f′₁ et f′₂ (f′₁ < f′₂) telles que |Z| = . On pose r′₀ = Z_m∕R, le modèle permet de calculer :
Ce terme est lié à l’acuité de la résonance mécanique du haut-parleur et il permet une expression simple de l’impédance, mais pour les calculs d’enceinte on préfère utiliser le coefficient d’amortissement S′_T issu de la théorie des asservissements linéaires et on pose :
Par ailleurs on a l’habitude de poser k′ = A.k où A est un nombre sans dimension représentant la raideur de l’enceinte en prenant pour unité la raideur de la suspension du haut-parleur.
Inversement on peut représenter la raideur de la suspension du haut-parleur par un volume appelé V _AS tel que :
Les mesures précédentes ne permettent pas de déterminer A il faut faire appel à une autre expérience.

3 L’enceinte bass-reflex.

En dessous de la fréquence de résonance du haut-parleur en enceinte close f′₀, le rayonnement est très faible à cause de l’amortissement. Pour rehausser le niveau des graves on utilise un résonateur auxiliaire qui entrera en résonance dans la zone de fréquence où le rayonnement est faible.
Le dispositif le plus simple est le résonateur de HELMHOLTZ qui constitue un exercice classique et dont la fréquence de résonance dans un modèle simplifié est donnée par :

où c est la célérité du son dans l’air,Σ₂ la surface de l’évent cylindrique, l₂ la longueur de l’évent et V le volume de l’enceinte.
On prend comme unité de mesure la fréquence de résonance du haut-parleur seul,f₀, et on définit une fréquence réduite (ou normalisée) ν  =  f∕f₀. On pose alors C  =  F₂²∕f₀² et S_M  =  1∕2.Q_MS.// L’impédance du bass-reflex s’écrit après un calcul un peu long disponible sur Internet :
On va chercher les valeurs de ν qui rendent Z réel. On voit tout de suite si ν² = C alors Z = R. C’est la fréquence de résonance du résonateur de HELMHOLTZ.
Par ailleurs la partie réelle du numérateur est égale à celle du dénominateur, lorsqu’elles sont nulles Z est réel : Z  =  R.S_T ∕S_M.L’équation donnant les valeurs de ν² est :
On en tire facilement l’équation bicarrée :
Nous laissons au lecteur le soin de vérifier que le discriminant se met sous la forme d’une somme de deux carrés et qu’il est donc positif. Il y a donc deux racines dont le produit C est positif et la somme (1 + A + C) est elle aussi positive, ainsi les deux racines sont positives et peuvent être des valeurs de ν².On détermine expérimentalement les fréquences F₁ et F₃ (F₁ < F₂ < F₃) donnant une droite de LISSAJOUS. La somme des racines s’écrit :
On a déterminé, en enceinte close pour le même volume, f₀^′2  =  (1 + A).f₀² ce qui donne :
En simplifiant il reste :
La détermination expérimentale de F₂ est assez délicate car il s’agit d’un minimum d’impédance assez plat, on peut donc avoir une petite plage de fréquences où l’on a une droite. L’A.F.N.O.R. recommande donc de prendre pour les calculs qui vont suivre la valeur tirée du modèle :
En pratique F₂ et F′₂ devrait être assez voisins.
Calculons le produit des racines :
Ce qui donne enfin :
On a donc ainsi déterminé A et la valeur de V _AS. De plus le S_T du haut-parleur seul est relié au S′_T du haut-parleur en enceinte close par la relation S_T   =  S′_T . et f₀  =  f′₀∕.
Le f₀ , le S_T et le V _AS sont les paramètres utiles pour mettre au point les enceintes de type bass-reflex ou actif-passif. Si on veut aller plus loin il faut connaître une autre valeur. On peut prendre la surface de la membrane mesurée au milieu du jonc (suspension périphérique). Le terme Σ intervenant au carré la précision de ce qui va suivre sera médiocre mais on ne peut pas faire mieux. On détermine la raideur de la suspension et la masse de l’équipage mobile :
On peut remarquer que ,comme on a fait les mesures avec une enceinte close, la masse ainsi déterminée, même peu précise, contient la masse de rayonnement.
Avec ces éléments on peut aussi calculer le produit B.l du champ magnétique dans l’entrefer par la longueur du fil de la bobine qui y baigne. La formule permettant ce calcul se trouve dans le formulaire et on a :
d’où il vient :
En tenant compte du fait que la masse étant le plus souvent exprimée en grammes, autant ne pas compliquer le calcul.

4 Matériel nécessaire aux mesures.

On travaille uniquement en courant alternatif sinusoïdal. Il faut donc :
Un générateur B.F. couvrant la gamme 20 - 200 Hz en fréquence glissante de façon à régler la fréquence aussi précisément que possible.
Un fréquencemètre possédant la fonction périodemètre car en dessous de 200 Hz la précision est meilleure, un affichage à cinq chiffres est largement suffisant.
Un oscilloscope bicourbe possédant la fonction X Y et passant le continu. En effet comme on mesure un déphasage nul l’appareil ne doit pas introduire de déphasage.
Un multimètre 2000 points sera utilisé pour mesurer les tensions sinusoïdales et continues. Il devra être isolé de la masse (ils le sont pratiquement tous).
Pour mesurer l’impédance il faut construire un petit boîtier comprenant un générateur de courant. Pour ne pas alourdir cet article sa description est disponible sur Internet (voir à la fin).
Et, bien sûr, il faut un haut-parleur monté en enceinte bass-reflex. Pour ne pas encombrer les étagères du labo l’auteur propose une enceinte de quelques litres pour un haut-parleur de 13 cm. On pourra prendre le 13MP5A de DAVIS ACOUSTICS (publicité gratuite) qui convient bien à ce type de manip. La boîte sera un cube en bois aggloméré de 19 mm d’épaisseur,cela économisera les finances du labo car le cube est le parallélépip&egrave;de rectangle ayant la surface minimale pour un volume donné. Le cube intérieur pourra avoir une arête de 18 cm. Le lecteur calculera lui-même la découpe à faire réaliser dans une surface de bricolage sur une scie à panneaux. Ces derniers seront assemblés par la technique du vissé-collé. Il faut éviter toute fuite d’air aux assemblages et ne pas économiser la colle.
Sur l’un des panneaux on découpe un trou circulaire au diamètre de l’extérieur du jonc pour fixer le haut-parleur par l’extérieur. Par exemple pour le 13MP5A le diamètre est de 110 mm et le bord du jonc constitue un joint entre la boîte et le haut-parleur car, là aussi, il faut éviter toute fuite d’air.
Sur un panneau voisin on découpe un trou circulaire pour fixer l’évent : tube d’écoulement de sanitaire de 50 mm de diamètre et de 120 mm de long. Là aussi pas de fuite d’air, bien colmater la liaison bois-tube au mastic. Il faut pouvoir boucher l’évent pour obtenir l’enceinte close tout en conservant le même volume intérieur. Pour cela on fabrique un bouchon à visser de l’extérieur avec un manchon de bois dont le volume est égal au volume d’air à l’intérieur de l’évent. La partie plate du dessus pourra être récupérée lors du percement du trou du haut-parleur, le manchon de bois est vissé et collé sur cette pièce.

De la sorte on n’aura pas à démonter le haut-parleur à chaque manip pour mettre un bouchon à l’intérieur. En revanche le bouchon sera fixé par trois vis et trois inserts du type de ceux utilisés pour fixer les haut-parleurs avec toujours un joint d’étanchéité.

5 Déroulement des mesures.

On commence par l’enceinte close avec le bouchon. On fait l’hypothèse que le courant dans la bobine mobile est le paramètre qui fixe la valeur des grandeurs à mesurer. C’est lui qui détermine la valeur de la force électromagnétique qui peut être prise comme grandeur de base.La résistance R₀ du petit boîtier étant de 10 Ohms la mesure de la tension aux bornes de cette résistance permet de connaître le courant.
Sur la position ”continu” du boîtier on fixe U_R0 à 0,100 V sur le calibre 200 mV continu et on bascule le commutateur sur U_Z et on mesure une valeur désignée par la suite par U₂.La valeur de la résistance de la bobine est alors de R = 100.U₂ les tensions étant toujours exprimées en Volts.
Puis on passe sur la position ”sinus” du boîtier et on règle U_R0 à 0,100 V sur le calibre 2 V (les multimètres normaux ont rarement une échelle sinusoïdale en dessous de cette valeur).
L’oscilloscope sera branché sur U_T en Y et sur U_R0 en X. Pour des problèmes de masse on n’accède pas directement à la tension aux bornes du haut-parleur (à moins de disposer d’un oscillo à entrées différentielles mais c’est plus cher !). Pour déterminer une droite de LISSAJOUS cela n’a aucune importance car si U_Z et U_R0 sont en phase U_T aussi.
On cherche la fréquence la plus basse pour laquelle on obtient cette droite. On désigne par f′₀ cette fréquence (la mesure donne T′₀). On vérifie que U_R0 reste bien égal à 0,100 V , sinon on retouche le potentiomètre et le générateur B.F.On désignera par U′₂ la tension aux bornes du haut-parleur (commutateur sur U_Z). Pour obtenir |Z|  =   on calcule la tension U₃  =   et on cherche la fréquence f′₁ inférieure à f′₀ pour laquelle U_Z  =  U₃, puis la fréquence f′₂ supérieure à f′₀ pour la même valeur.Avec ces valeurs on calcule :

On enlève enfin le bouchon pour passer à l’enceinte bass-reflex. En partant de 20 Hz on relève, dans l’ordre, les fréquences f₁,f₂ et f₃ donnant une droite sur l’écran. U_R0 est toujours réglé à 0,100 V et on vérifie à chaque mesure que cette valeur est bien respectée.On mesure aussi les tensions U₂₁,U₂₂ et U₂₃ correspondantes pour calculer les impédances. Si on a le temps on pourra les comparer au modèle et réfléchir aux différences observées.
On calcule la valeur f₂^′2  =  f₁²  +  f₃² - f₀^′2 et on compare sa valeur à f₂², la différence ne doit pas être trop grande.
On en déduit la valeur de A :
Puis celle de V _AS, de f₀ et de S_T .
La surface Σ mesurée par une autre méthode vaut 80 cm² pour le 13MP5A, on pourra prendre cette valeur pour poursuivre le calcul.
Il peut être utile pour aller plus vite dans les calculs d’utiliser un tableur, l’auteur utilise Gnumeric qui a le gros avantage d’être gratuit et de fonctionner aussi bien que son concurrent payant.

6 Détermination de l’inductance propre de la bobine et du produit B.l

En ajoutant une mesure de fréquence pour laquelle l’impédance du haut-parleur est réelle (droite de LISSAJOUS) dans le cas de l’enceinte close à des fréquences supérieures à la fréquence de résonance pour lesquelles on peut négliger l’influence de la raideur de la suspension (voir paragraphe 5.3). Le calcul ne sera qu’approché mais suffisant en pratique pour calculer le circuit de BOUCHEROT qui intervient dans le calcul du filtre passe-bas.
Soit T′₃ la période ainsi déterminée et T′₀ la période de résonance dans l’enceinte close, on pose n₃ = T′₀∕T′₃ pour éviter les lettres grecques dans le tableur. En modifiant la formule du livre pour faire intervenir les valeurs mesurées il vient :

Pour le produit B.l la masse est donnée en grammes (il est rare d’avoir des équipages mobiles de plusieurs kilogrammes). On écrira donc la formule sous la forme :
La formule donnant L peut être entrée dans le tableur juste après l’enceinte close. Pour le produit B.l il faut attendre d’avoir déterminé la masse de l’équipage mobile à l’aide de la surface approchée de la membrane.

7 Pour en savoir plus.

La consultation du site Internet de l’auteur permettra de se familiariser avec le modèle standard du haut-parleur électrodynamique : http://static.brouchier.com/Le-son/  .
Le fichier Haut-parleurs et enceintes acoustiques” est un livre au format .pdf en consultation libre (licence GPL).
Le fichier ”Caisson pour bass-reflex” donne des indications pratiques pour la construction de l’enceinte destinée à la mesure.
Le fichier ”boîtier de mesure” explique comment réaliser le montage électronique pour faire les mesures d’impédances (il peut servir pour autre chose que pour les haut-parleurs).
Si vous disposez du tableur Gnumeric vous pouvez utiliser le fichier ”ParamètresHP.gnumeric” sur le même site.

Pour tout renseignement complémentaire on peut adresser un courriel à francis.brouchier@prepas.org.