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Corrigé Physique MP Mines-Ponts 2007

Corrigé de l’épreuve de Physique II, filière MP de Mines-Ponts 2007

Francis BROUCHIER

10 mai 2010

GRATTE-CIELS et TOURS

1 Mise en équation

1

L’ensemble tour-TMD est soumis à la force extérieure f0(t) portée par l’axe des x. Tous les mouvements se font sur cet axe. La dérivée par rapport au temps de la quantité de mouvement du système vaut mẍ + m1(ẍ + ü) dans le référentiel de le Terre supposé galiléen. La force extérieure de rappel appliquée au système vaut -kx. La relation fondamentale de la dynamique en projection sur l’axe des x s’écrit donc :

m ¨x + m1[¨x + ¨u] = - kx + f0(t)

pour le TMD on peut écrire :

m1(¨x + ¨u) = - k1u - h1u˙

Pour la première équation on fait passer le terme -kx dans le premier membre et on divise le tout par m. Il suffit de poser α = m1∕m,k∕m = ω02 et a0(t) = f0(t)∕m pour obtenir l’équation (B1).

De même dans la seconde équation on divise par m1 et on pose k1∕m1 = ω12 et h1∕m1 = 2η1ω1.

ω0 est la pulsation propre de résonance de la tour seule et ω1 est la pulsation propre de résonance du TMD seul.

2

L’amplitude complexe est une fonctionnelle linéaire définie sur l’ensemble des fonctions sinusoïdales de pulsation ω qui transforme les équations différentielles du temps en équations algébriques. La dérivation par rapport au temps revient à une multiplication par iω.

Les équations (B1) et (B2) deviennent alors :

(1 + α)(iω)2X-+ α(iω)2U-+ ω20X-= A0
2 2 2 (iω )X- + (iω )U- + 2η1ω1(iω )U-+ ω1U-= 0

La seconde équation donne une relation entre U et X :

U(- ω2 + 2η1ω1 + ω21) = ω2X

On divise le deux membres par ω0 pour introduire les coefficients β et z, il vient :

U(- z2 + 2iη1βz + β2) = z2X

On a ainsi la fonction de transfert en amplitude complexe :

U z2 H1 (z) = -- = ---2------------2 X- - z + 2iη1βz + β

Quand z → 0 alors H1 → 0 ; quand z →∞ alors H1 →-1 le système est un filtre passe-haut du second ordre. Comme on cherche à minimiser le déplacement de la tour |X| le dénominateur de |H1| doit être aussi petit que possible pour un |U| donné il faut donc |H1| plutôt grand.

3

Si b = ẍ alors B = -ω2X ; la première équation en amplitude complexe permet d’écrire :

2 2 2 - ω X-(1+ α )- αω U-+ ω0X- = A0

Comme U = H1.X il vient :

B(1 + α + α.H1 - ω20∕ω2 ) = A0

On en tire la valeur demandée :

B-- ---------z2-------- H1 = A0 = (1 + α + αH1 )z2 - 1

On cherche à minimiser l’accélération ressentie par les habitants de la tour, il faut donc |B| petit et donc |H1| plutôt petit.

 

2 Analyse qualitative du système

 

2.1 Cas où η1 = 0

4

Dans les équations précédentes on supprime le terme en η1 et le terme en A0, le système [B] s’écrit donc :

2 (1+ α )¨x + αu¨+ ω0x = 0
¨x+ u¨+ ω21u = 0

En passant en amplitude complexe on trouve :

2 2 2 2 H-(z) = --z---- H- (z) = ------------z-(z----β-------------- 1 z2 - β2 2 [(1 + α)(z2 - β2) + αz2]z2 - (z2 - β2 )

On désire |H2| aussi petit que possible, α est au dénominateur de H2, il faut donc prendre α aussi grand que possible. Mais α est le rapport de la masse du TMD et de la masse de la Tour on ne peut donc pas l’augmenter indéfiniment sans quoi la Tour s’effondrerait.

∙ α → 0

5

La masse du TMD devient nulle. En supposant que la raideur de sa suspension reste finie la pulsation propre du TMD tend vers l’infini ainsi que β. A la limite on peut écrire :

2 x¨+ ω0x = 0 ¨x+ ¨u → ∞

Le TMD n’a plus d’action sur le mouvement de la Tour qui oscille sur sa pulsation propre. En revanche si on suppose que β n’est pas totalement infini on peut écrire la fonction de transfert H1 → z2∕(z2 - β2). Pour z < β H1 < 0 le mouvement du TMD est en opposition de phase avec celui de la Tour.Pour z > β le mouvement du THD est en phase.

6

Le paramètre h1 permet de limiter les mouvements de la Tour et du TMD en absorbant sous forme de chaleur l’énergie mécanique produite par le TMD.C’est pour cette raison que les derniers étages des gratte-ciels récents sont à claire voie pour permettre la dissipation de cette chaleur qui se produit fort heureusement quand il y a du vent.

∙ α →∞

7

En supposant toujours que la raideur de la suspension du TMD reste finie quand la masse de celui-ci tend vers l’infini sa pulsation propre tend vers 0 ainsi que β. Des relations précédentes on tire :

H1 → - 1 H2 → 0

La Tour ne bouge pas mais elle s’est écroulée sous le poids du TMD.

∙ Cas général pour α