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Corrigé CCP 2010 PC Physique 1 Problème II:Effet Doppler et ondes sonores

Corrigé CCP 2010 PC Physique 1

Problème II:Effet Doppler et ondes sonores

Francis BROUCHIER

27 mai 2010
Un lecteur averti a signalé à l’auteur du corrigé une erreur en 1.4. Celle-ci s’est glissée à l’insu du plein gré du correcteur et voici la bonne version.

1 Approche heuristique de l’effet Doppler

 

1.1

τ0 étant le temps, en secondes, qui sépare deux bips successifs, la fréquence, en Hertz, du signal périodique est

f0   =  1∕τ0 .
Si c est la célérité du signal dans le référentiel choisi et d la distance parcourue le délai séparant l’émission d’un bip de sa détection vaut d∕c.

1.2

Pendant le temps τi la source a parcouru la distance v0.τi. La distance entre la source et l’observateur est alors d - v0.τi. Le bip est reçu à l’instant θi = τi + (d - v0.τi)∕c = d∕c + (1 - v0∕c)τi. De la même façon en remplaçant i par i + 1 on a θi+1 = d∕c + (1 - v0∕c)τi+1. Le temps séparant deux bips successifs reçus par l’observateur est alors τ(v0) = θi+1 - θi. Ce qui donne :

τ(v0)  =  (1 - v0∕c)τ0 et

f0   =  f(v0)∕(1 - v0∕c)

1.3

Comme on est dans le même référentiel il suffit de remplacer v0 par -v0 dans les formules précédentes et on a

τ(-v0)  =  (1 + v0∕c)τ0 et

f(-v0)  =  f0∕(1 + v0∕c) .
On remarque que lorsque la source se rapproche de l’observateur la fréquence apparente augmente. Elle diminue dans le cas contraire. C’est le phénomène observé lorsqu’un véhicule qui utilise son avertisseur sonore arrive et passe devant l’observateur.

1.4

La source, immobile, émet un bip à l’instant τi. Désignons par θ′i l’instant de la rencontre entre le bip et l’observateur. A cet instant l’abscisse du bip est x = c(θ′i -τi) et celle de l’observateur d-v0.θ′i. En égalant ces deux valeurs on obtient :

|---------------| | d + c.τi | (c- θi′- τi) = d- v0.θ′i (c + v0).θ′i = d+ c.τi |θ′i = ---------| --------c-+--v0-
En faisant la différence entre cette valeur et la valeur suivante on obtient la valeur demandée de τ′(v0 ) :
|-------------------| |-----------------------| |τ′(v ) = ----τ0--- | et |f′(v ) = f .(1 + v ∕c)| ----0-----1--+-v0∕c-| ----0------0--------0---

1.5

De la même façon on remplace v0 par -v0 et on obtient :

τ′(-v0)  =  τ0∕(1 - v0∕c) et

f′(-v0)  =  f0.(1 - v0∕c)

 

2 Thermodynamique des ondes sonores

 

2.1

L’équation de LAPLACE pour le transformation adiabatique d’un gaz parfait s’écrit habituellement : P.V γ = Cste. Ici on fait intervenir la masse volumique ρ = m∕V , on écrira donc P.ρ-γ = Cste :

|-----------------| |P0.ρ-0γ = P1.ρ-1γ | ------------------
Adiabatique réversible signifie "sans échange de chaleur réversible avec l’extérieur" soit dQrév = 0 et donc dS = dQrév∕T = 0. L’entropie reste constante.

2.2

Prenons la différentielle logarithmique de l’équation de LAPLACE sous la forme demandée par l’énoncé :

|----------------------------------------| -γ dP- dρ- | 1-∂ρ- --1-- - 6 -1 | P.ρ = CSte P0 - γ ρ = 0 |χS = ρ(∂P ) = γ.P0 = 7,07.10 P a | -----------------------------------------

Approximation acoustique

Elle consiste à linéariser l’équation d’EULER et l’équation de conservation de la masse en négligeant les termes du second ordre en p et ⃗v.

2.3

On écrit différemment l’expression de χS

χS  =  1- pδρ- ρ0 .Il faut éliminer ⃗v entre les deux équations. De la seconde on tire :

1 ∂ρ 1 ∂ρ ∂p ∂p div(⃗v) = - --(--) = - --(---)(---) = - χS (-) ρ0 ∂t ρ0 ∂p ∂t ∂t
En reportant cette relation dans la première équation il vient :
2 |-------------2-------| ρ0-∂ (div(⃗v)) = - ρ0.χS.∂-p-= - div-g-r→adp |Δp - ρ0.χS ∂-p-= 0 | ∂t ∂t2 -------------∂t2------|
On obtient l’équation de d’ALEMBERT en posant c2  =  1∕ρ0.χS ce qui donne en valeur numérique c  =  330 m.s-1

 

3 Ondes longitudinales dans un fluide

 

3.1

p(x, t) = Pm.cos(ω0.t - k0.x) = Pm.cos[ω0(t - k0.x∕ω0)]. k0.x∕ω0 est le retard temporel de l’onde à l’abscisse x et vaut donc x∕c. En égalant les deux expressions on tire :

k0   =  ω0∕c . Par ailleurs

f0  =  ω0∕(2.π) .

3.2

La seule variable d’espace est x. Le gradient de p a une seule composante sur Ox, il en est de même de ⃗v. En projection sur Ox on a :

∂v ∂p ∂v 1 ρ0---= ---- = - Pm.k0.sin(ω0t - k0x) ---= - ----ω0.Pm.sin(ω0t- k0x) ∂t ∂x ∂t ρ0.c
-ω0 sin(ω0t - k0x) est la dérivée de cos(ω0t - k0x) de sorte que :
|-------------| 1 p |p(x,t) | v = ---Pm cos(ω0t- k0x) = --- |------ = ρ0c| ρ0c ρ0c -v(x,t)---------
Ce rapport est constant, donc p et v sont solutions de la même équation aux dérivées partielles.L’auteur du corrigé a apprécié que l’auteur du sujet n’ai pas évoqué "l’impédance acoustique", bien que cette notion figure au programme, car elle est totalement obsolète et sans intérêt.

3.3

v(x, t) = p(x,t)∕ρ0c d’où :

|----------2--------------------2---------| |Δv - 1-∂-v- = -1-(Δp - 1-∂-p-) = 0 )| --------c2∂t2-----ρ0c--------c2∂t2--------|

3.4

Le microphone est à l’abscisse x(t) = d + v0.t. La pression sonore qu’il reçoit est donc :

|-----------------------------------| p(x,t) = P .cos(ω t- k .d- k .v .t) |p(x, t) = P .cos[(ω - k .v )t - k .d]| m 0 0 0 0 ------------m-------0---0--0-----0---
La pulsation ωm(v0) est le terme en facteur de t soit :
|-----------------------------------------------| |ωm(v0) = ω0.(1- v0 ) et fm (v0) = f0.(1- v0)| -------------------c-------------------------c---

3.5

La relation vérifiée par ω1 et k1 reste la même :

k1  =  ω1∕c .
A partir de l’instant t = 0 la source a parcouru une distance v0.t et se trouve donc à x = v0.t. En reportant cette valeur dans l’expression de l’énoncé on trouve :

v (x,t) = V .cos(ω t- ω1v .t) = V .cos[ω (1 - v0)]t = V .cos(ω t) S m 1 c 0 m 1 c m 0
On en déduit :
|---------ω--------------------f----| |ω1 = ----0--- et fm = ----0---| -------1---v0∕c-------------1--v0∕c--

4 Vélocimétrie

 

4.1

En x = 0 la cloison est immobile. L’onde de vitesse est perpendiculaire à la cloison, comme la vitesse de la cloison est nulle la superposition de la vitesse de l’onde incidente et de l’onde réfléchie doit être nulle : v = vi + vr = 0 soit V i.cos(ωit) + V r.cos(ωrt) = 0. En identifiant on trouve :

|----------| |----------| |Vr = - Vi| |ωr--=-ωi-| |kr = - ki| ------------ ----------| -----------

4.2

En tenant compte des simplifications de l’énoncé, on peut écrire sur la cloison les vitesses vi(t) et vr(t) sous la forme :

v (t) = V cos(ω t+ ωi u.t) = V cos[ω (1 + u)t] v (t) = V cos[ω (1 - u-t)] i i i c i i c r r r c
En écrivant que vi (t)+vr(t) = 0 on tire

V r  =   - V i et ωr (1 - u∕c) = ωi(1 + u∕c) soit :

----------------- | 1+ u ∕c| ωr = ωi-------| ---------1--u-∕c-

4.3

La fréquence de l’onde réfléchie vaut alors :

|--------1+-u∕c-| |fr = fi-------| ---------1--u∕c--
L’observateur (la cloison) se déplace vers la source (fixe) et reçoit une onde de fréquence f′i(u) = fi.(1 + u∕c). Il la renvoie vers O en jouant le rôle d’une source et O reçoit le signal comme un observateur fixe par rapport à la cloison de vitesse -u. Ce qui donne :
′ |---------------| fr(u) = -fi(u)- = soit fr = fi1-+-u∕c | 1 - u∕c --------1---u∕c--

4.4

Avec les valeurs numériques de l’énoncé u∕c ~ 3.10-4, son carré sera largement négligeable devant 1 et fr   ~  fi.(1 + 2u∕c) et fr - fi  ~  2.fi.u∕c. Tous calculs faits on trouve :

|----------------------------------| fr----fi-=--5,88-Hertz--~--6 Hertz-|

5 Conclusion

En 3.4 la source est fixe et l’observateur s’éloigne de la source à la vitesse v0 et on a fm(v0) = f0(1 - v0∕c).
En 3.5 l’observateur est fixe et la source se rapproche de l’observateur à la vitesse v0 et on a fm(v0) = f0(1 + v0∕c). Dans un cas les deux objets s’éloignent et dans l’autre ils se rapprochent, il est donc normal que les fréquences soient différentes.
Par ailleurs la méthode heuristique utilise des fonctions (les bips) qui n’ont pas de dérivées et ne peuvent servir dans l’équation de d’ALEMBERT. La théorie des fonctions numériques ne s’applique pas. Il faudrait utiliser une représentation des grandeurs par un objet mathématique indéfiniment dérivable. Cet objet existe, mais n’est pas au programme des classes préparatoires : ce sont les distributions de Laurent SCHWARTZ et SOBOLEV. Un bip est représenté par une distribution de DIRAC et une succession périodique de bips par un peigne de DIRAC. Cela peut expliquer des petites différences entre les deux méthodes.
Les radars au bord des routes nous montrent que l’effet DOPPLER fonctionne aussi avec les ondes électromagnétiques, mais celles-ci sont des ondes transversales qui n’ont pas les mêmes propriétés que les ondes longitudinales. Les calculs ne sont pas les mêmes.