Brouchier: Haut parleur, Hifi, Enceinte, etc.

Les figures de l’énoncé étant suffisamment claires ne seront pas reproduites dans le corrigé. Le lecteur est prié de garder l’énoncé sous les yeux.

1 Questions préliminaires.

 

1.1

D’après les formules trigonométriques données en page 1 on peut écrire :

La pulsation fondamentale est 2ω et il n’y a pas d’harmoniques. La valeur moyenne d’une fonction sinusoïdale du temps est nulle sur une période. Il en est de même pour un grand nombre de périodes. Ainsi le développement en série de Fourier d’une fonction périodique contient un terme constant et une suite de fonctions sinusoïdales de pulsations ω,2ω,...., la valeur moyenne de ces fonctions est nulle et il ne reste comme valeur moyenne que le terme constant.
Dans le cas du problème la valeur moyenne de la fonction est donc égale à la composante continue

cosφ∕2

1.2

 

D’après les résultats précédents il reste :

1.3

 

Le produit P(t) se ramène à une somme de cosinus dont la valeur moyenne est nulle :

< P(t) >= 0

La valeur moyenne du dernier produit est nulle, compte tenus des calculs précédents il ne reste que

 

2 Effet d’inertie thermique.

 

2.1

La puissance moyenne dissipée sous forme d’effet Joule est < v(t) > ∕R. On a entre crochets la somme deux fonctions sinusoïdales de pulsations différentes. On se trouve donc dans le cas 1.3 et l’on a :

2.2

En courant continu P′_J = V ²∕R avec P′_J = P_J on a V ² = 0,5162² soit

V = 0,7185 . Cette valeur est appelée "valeur efficace de la tension".

 

2.3

De la relation précédente on tire

= 230∕0,7185 ~ 320 V olts

 

3 Effets de moyenne en électrocinétique.

 

3.1 filtrage des ondulations autour de la valeur moyenne d’un signal.

 

3.1.1

On écrit les équations de l’électrocin&eacute;tique dans l’approximation des régimes quasi stationnaires :

Si on prend v(t) = cos²(ωt) = (∕2)[1 + cos(2ωt)] il vient :

3.1.2

a) La solution particulière de la première équation différentielle est u(t) = Cste car du∕dt = 0 , d’où u(t) - u(0) = ∕2 . Si à t = 0 le condensateur est déchargé u(0) = 0 et

u = ∕2
b) Dans le cas de la question l’amplitude complexe est une fonctionnelle linéaire définie sur l’ensemble des fonctions sinusoïdales du temps de pulsation 2ω qui remplace les équations différentielles linéaires à coefficients constants par des équations algébriques. Le symbole de dérivation d∕dt est remplacé par 2iω en respectant la notation de l’énoncé. L’amplitude complexe de u(t) pourra s’écrire U et celle de cos(2ωt)∕2 s’écrira ∕2 en prenant ce cosinus comme origine des phases. On en déduit :

De la dernière expression on déduit que l’amplitude tend vers zéro si 4ω²τ² ≫ 1 soit RC ≫ 1∕(2ω)

 

3.1.3

En négligeant 1 sous le radical on peut écrire = ∕4ωτ . On désire que ∕∕2 ~ 1∕100 soit 1∕2ωRC ~ 1∕100. Avec les valeurs numériques de l’énoncé on trouve

R > 1590 Ω . La valeur de ω correspond à la valeur de la pulsation du secteur de distribution d’électricit&eacute; à 50 Hz. Après traitement l’ondulation reste faible.

 

3.2 Détection synchrone.

 

3.2.1

On exprime le produit demandé :

D’après le résultat du 1.3 la valeur moyenne du second produit est nulle de sorte que la valeur moyenne recherchée est :

3.2.2

On règle = 2 V olts la valeur de μ est maximale lorsque cosα = 1, soit α = 0. On a alors μ_max = qui est la valeur désirée.

 

4 Effets de moyenne dans les capteurs optiques.

 

4.1 Sensibilité des instruments d’optique

 

4.1.1

Les longueurs d’onde du spectre visible par l’œil sont comprises entre 0,4 et 0,8 μm. Comme λ = c∕f on en déduit que les fréquences correspondantes sont comprises entre 3,75.10¹⁴ Hz et 7,5.10¹⁴ Hz.

4.1.2

Si s(t) = Acos(ωt + φ), l’éclairement est la valeur moyenne de son carré soit :

E =< s²(t) >= A²∕2 .

 

4.2 Interférences de deux ondes planes.

 

4.2.1

A partir des résultats des questions préliminaires on peut écrire ₁ = A₁²∕2 ₂ = A₂²∕2
=< s²(t) >. Deux cas sont alors à envisager :

• Soit ω₁≠ω₂ la valeur moyenne du carré de la somme est la somme des valeurs moyennes de chaque signal :

  = ₁ + ₂ . Dans ce cas il ne peut pas y avoir d’interférences puisque l’éclairement total est uniforme.

• Soit ω₁ = ω₂ on ajoute aux termes précédents A₁A₂ cos(φ₁ - φ₂)∕2 = cos(φ₁ - φ₂). L’éclairement total vaut donc : Dans ce cas l’éclairement varie en fonction de φ₁ et φ₂ on peut donc observer des variations d’éclairement donnant des interférences.

 

4.2.2

Pour obtenir des interférences lumineuses il faut deux signaux de même longueur d’onde ayant entre eux un déphasage constant. Or la lumière est produite lors du passage d’un électron d’un atome d’un niveau d’énergie élevé à un niveau plus bas (ΔW = hν). La source lumineuse est donc ponctuelle et deux sources voisines ne sont pas corrélées. Il faut donc avoir deux images en optique géométrique de la même source pour avoir deux sources cohérentes. Avec un laser on peut obtenir une onde plane cohérente sur une surface assez faible.

4.2.3

a) Pour des ondes planes les plans d’onde (même phase) sont perpendiculaires aux rayons lumineux. Pour l’onde s₀ le plan (P) est le plan de phase zéro. Le signal de la source s₁ arrivant en x est en retard sur celui arrivant en O d’une distance δ = xsinθ
b) La vibration de l’onde s₁(t) vaudra donc :

4.2.4

On utilise la formule démontrée en 4.2.1 :

4.2.5

L’interfrange "i" est la distance entre deux franges successives ayant le même éclairement. Le cosinus reprend la même valeur pour une variation de son angle de 2π soit isinθ∕λ = 1 d’où l’interfrange

i = λ∕sinθ , à ne pas confondre avec le symbole des imaginaires.
Certaines franges ont un éclairement maximum, d’autres un éclairement minimum :

Par définition le contraste vaut :

Application numérique : θ = 30^∘ sinθ = 1∕2 et

i = 2λ = 1,266 μm
A₀ = 2A₁ E₀ = 4E₁

contraste = 2∕5

 

4.3 Principe de l’imagerie par diffraction.

 

4.3.1

L’optique géométrique prend pour modèle l’existence de rayons lumineux sans épaisseur qui sont des segments de droite dans les milieux homogènes et isotropes. Elle ne tient pas compte de la nature ondulatoire de la lumière.
Principe de Huygens-Fresnel : Dans le cas de l’optique les ondes qui se propagent à l’extérieur d’une surface fermée à l’intérieur de laquelle se trouve une source (A) sont les mêmes que celles obtenues en supprimant la source (A) et en la remplaçant par une série de sources de sources ponctuelles sur la surface, ces sources ayant l’amplitude et la phase de l’onde émise par (A).

4.3.2

Introduisons l’éclairement E dans la formule donnant T(x) :

d’où on déduit :

4.3.3

a) a₀ .dx est le produit de l’amplitude de l’onde qui arrive sur le plan (P) par la surface éclairée. Celle-ci vaut l.dx et l’amplitude de l’onde vaut A₀. En comparant on trouve a₀ = A₀.l.
b) δ′ est la différence de marche entre le rayon passant par O et le rayon passant par x. D’où

δ′ = xsinΨ
c) Pour répondre à cette question il va falloir intégrer ds′ en faisant varier x de -h∕2 à h∕2. Développons ds′ :

Laissons de coté a₀ qui est en facteur du tout et occupons nous d’abord du terme en α :

Un œil exercé reconnaîtra là un sinus cardinal que l’on trouve souvent dans les problèmes simples de diffraction. Nous y reviendrons plus loin. Le sinus cardinal est la fonction : sinc(x) = sinx∕x.
Le terme en β est constitué de deux produits. Étudions d’abord le premier :

Le second terme du produit est le même que le premier où l’on change sinθ - sinΨ en sinθ + sinΨ, il vaut donc :

Le second produit fait apparaître un terme en cosasinb = 1∕2[sin(b + a) + sin(b-a)] ; Pour ne pas alourdir le calcul nous laisserons de coté le terme constant en facteur ia₀β∕2 et ne calculerons que le premier sinus, le calcul pour l’autre étant identique en remplaçant sinθ + sinΨ par sinθ - sinΨ. L’intégrale se calcule ainsi :

L’autre terme du produit sera lui aussi nul et l’amplitude totale diffractée dans la direction Ψ sera :

4.3.4

Si h >> λ soit la valeur de la variable du sinus cardinal est très grande et le sinus cardinal tend vers zéro. Si la valeur de la variable du sinus cardinal est nulle, le sinus cardinal vaut 1. Ainsi il y aura de la lumière dans les directions qui annulent la variable du sinus cardinal, soit :

4.3.5

Lorsque Ψ = 0 la lumière diffractée est parallèle à l’axe principal de la lentille pour simplifier les choses. Il y aura donc une frange passant par le foyer principal image de la lentille. Puis, de part et d’autre, deux franges parallèles avec les angles Ψ = θ et Ψ = -θ. Ces deux franges sont à la distance f tanθ de la frange centrale soit 5, 3 cm.

 

4.4 Phénomènes de battements

 

4.4.1

Nous avons une somme de cosinus de même amplitude. En développant les cosinus et en mettant en facteur il vient :

La valeur moyenne de cos2ωt est nulle d’où

D’après les travaux de Fletcher la bande passante moyenne de l’oreille humaine est de 20 Hz à 20 kHz. Mais diverses causes peuvent la modifier : le vieillissement diminue les fréquences élevées audibles, l’écoute de musique à très fort niveau sur de longues périodes provoque une surdité irréversible (Attention les oreilles !).
les deux fréquences de 40,5 kHz et 39,5 kHz sont des fréquences ultrasonores inaudibles séparément par l’oreille humaine (mais pas par les chauve-souris). En revanche le phénomène de battements provoque l’apparition d’un son de pulsation 2δω ou ce qui revient au même en fréquence 2δf. Ici par rapport à la fréquence centrale 40 kHz le δf est de 0,5 kHz et donc la fréquence détectée par l’oreille est de

1 kHz .

 

4.4.2

a) B est en arrière de A avec un décalage dans le temps de T, donc

x₁ = -cT .
Dans le référentiel du problème l’abscisse de B en fonction du temps est x_B = ct + x₁ et l’abscisse du miroir est x_M = vt.Lorsque B atteint de miroir on a :

on en tire :

b) Bien que cela ne soit pas précisé dans l’énoncé la position de A(τ) est celle du maximum qui s’est réfléchi sur le miroir à t = 0. Donc la distance

d = AO = cτ et OB(τ) = x₂, ce qui donne

(AB) = (c + v)τ . Cette distance représente la longueur de l’onde réfléchie.
c) Par définition f′ = c∕λ′ d’où :

Pour l’observateur fixe on trouve donc :

d) En développant l’expression de f′ au premier ordre on tire f′≈ (1 - 2v∕c)f d’où

f - f′≈ 2fv∕c
e) Application numérique Avec les valeurs numériques de l’énoncé on trouve f = 6.10¹⁴ Hz d’où

f - f′ = 12.10⁷ Hz = 120 MHz . On se trouve dans le domaine des ondes "radio" juste au dessus de la bande "FM".